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《多元函數(shù)微分法及其應用習題(I)》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在教育資源-天天文庫。
1、第九章多元函數(shù)微分法及其 應用習題課一、內容回顧1、偏導數(shù)的定義與計算求函數(shù)的偏導數(shù)時，只要把暫時看作常量而對求導數(shù)；類似地，可求函數(shù)的偏導數(shù)。2、多元復合函數(shù)求導法則zuvtzuvxy(1)設和在點可導，在對應點處可微，則復合函數(shù)在點處可導，且(2)設和存在偏導數(shù)，在對應點處可微，則復合函數(shù)在偏導數(shù)存在,且3、隱函數(shù)的導數(shù)①由方程確定的一元函數(shù)，則有：②由方程確定二元函數(shù)，則有：（2）.由四個變量兩個方程所構成的方程組,如確定隱函數(shù)兩個二元函數(shù)方程組（1）.由三個變量兩個方程所構成的方程組,如確定
2、隱函數(shù)兩個一元函數(shù)方程組.,,,yvxvyuxu????????求③由方程組所確定的隱函數(shù)4、多元函數(shù)微分學在幾何上的應用4.1空間曲線的切線與法平面切線方程：法平面方程：(1),則在點處切線方程：法平面方程：切線方程和法平面方程可轉化為第(2)種形式，求出即可.(3),則在點處(2),則在點處4.2曲面的切平面與法線切平面方程：法線方程：切平面方程：法線方程：(2),則在點處(1),則在點處5.方向導數(shù)與梯度二元函數(shù)在點沿方向的方向導數(shù)為計算公式:其中是方向的方向余弦。其中為x軸到方向的轉角．函數(shù)
3、在點處的梯度為一向量:6.無條件極值求法步驟：①求,得全部駐點.②求,,③由判別駐點為極值點的條件，驗證的符號,確定極值點，求出極值。7.條件極值求法：(拉格朗日（Lagrange）乘數(shù)法)③求出極值。①構造輔助函數(shù)②求解得出,就是可能的極值點.函數(shù)在條件下的可能極值點:二、典型例題解：例1、求函數(shù)的偏導數(shù).分析：因為函數(shù)為三元函數(shù)，所以，應分別求對的偏導數(shù)。解：根據(jù)復合函數(shù)求偏導法則得例2、設,而,,求和.例3、設,其中具有二階連續(xù)偏導數(shù)，求解：設,則利用隱函數(shù)的求導公式得解:令,則例4、設,求.
4、分析：如果令,則由方程確定了是的函數(shù),求用隱函數(shù)求導法。但在求二階混合偏導時，應采用直接求導法。計算時，我們采用在方程兩邊同時對求偏導的方法,并視為的二元函數(shù),得例5、求曲線在點處的切線及法平面方程。分析：此曲線為參數(shù)方程,只需求出切向量為再求出切點，即可得切線及法平面方程。解：因故在點處的切向量為所求切線方程為：法平面方程為：即解：將所給方程的兩邊同時對求導得例6、求曲線在點處的切線及法平面方程.分析：此曲線由方程組的形式給出,也可視為參數(shù)方程,視為參數(shù)，則切向量為,利用直接求導法對方程組求導,解
5、方程組,求出切向量,即可得切線及法平面方程。因此所求切線方程為法平面方程為即則曲線在點處的切向量為解得故切平面方程為即法線方程為例7、求旋轉拋物面在點處的切平面及法線方程.分析：此曲面可看成的形式,只需求出法向量,即可求出切平面及法線方程.解：設,則解：沿梯度方向的方向導數(shù)最大。梯度為所以方向導數(shù)的最大值為例8、問函數(shù)在點處沿什么方向的方向導數(shù)最大？并求此方向導數(shù)的最大值。解：解方程組得駐點又所以故例9、求函數(shù)的極值.因此在點處取得最小值,且為求解所以，函數(shù)的極大值為得為唯一駐點.例10、求函數(shù)在適
6、合附加條件下的極大值.分析：求函數(shù)在適合附加條件下的極大值,為條件極值，用拉格朗日乘數(shù)法。解：構造輔助函數(shù)
