《機(jī)械控制》word版

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1、院系班級(jí)姓名作業(yè)編號(hào)第八章重積分作業(yè)9二重積分的概念與性質(zhì)1．利用二重積分的性質(zhì),比較下列積分的大?。海?）與(a)D是由直線及所圍成的閉區(qū)域；(b)D是由圓周所圍成的閉區(qū)域．解：(a)因?yàn)樵趨^(qū)域內(nèi)部有，從而大(b)因?yàn)樵趨^(qū)域內(nèi)部有，從而大（2）與(a)D是矩形閉區(qū)域：；(b)D是矩形閉區(qū)域：．解：(a)因?yàn)樵趨^(qū)域內(nèi)部有，從而大(b)因?yàn)樵趨^(qū)域內(nèi)部有，從而大（3）與，其中是由三個(gè)坐標(biāo)面與平面所圍成的閉區(qū)域．解：因?yàn)樵趨^(qū)域內(nèi)部有，從而，因此大21院系班級(jí)姓名作業(yè)編號(hào)2．利用積分的性質(zhì)，估計(jì)下列各積分的值：（1），其中D是

2、矩形閉區(qū)域：；解：因?yàn)樵趨^(qū)域內(nèi)部有，因此（2），其中為球體；解：因?yàn)樵趨^(qū)域內(nèi)部有，因此（3），其中L為圓周位于第一象限的部分；解：因?yàn)樵谇€上積分，不妨設(shè)，，因此（4），其中為柱面被平面所截下的部分．解：因?yàn)樵谇嫔戏e分，從而，，因此21院系班級(jí)姓名作業(yè)編號(hào)作業(yè)10二重積分的計(jì)算1．試將二重積分化為兩種不同的二次積分，其中區(qū)域D分別為：（1）由直線及雙曲線所圍成的閉區(qū)域；解：作圖得知區(qū)域D可以表示為：，得區(qū)域D也可以分塊表示為：從而（2）環(huán)形閉區(qū)域：．解：在極坐標(biāo)下環(huán)形閉區(qū)域?yàn)閺亩谥苯亲鴺?biāo)下環(huán)形閉區(qū)域需分塊表達(dá)，分塊

3、積分變?yōu)?．改換下列二次積分的積分次序（填空）：（1）；（2）；（3）．3．畫(huà)出積分區(qū)域，并計(jì)算下列二重積分：（1），其中D是由兩條拋物線所圍成的閉區(qū)域；21院系班級(jí)姓名作業(yè)編號(hào)解：作圖，原式=（2），其中D是由所確定的閉區(qū)域；解：作圖，原式=（3），其中D是由不等式所圍成的閉區(qū)域；解：作圖，原式=（4），其中D是頂點(diǎn)分別為的三角形閉區(qū)域．解：作圖，原式=4．求由曲線所圍成的閉區(qū)域的面積．解：曲線方程聯(lián)立，得作圖知，原式=5．求由四個(gè)平面所圍柱體被平面及所截得的立體的體積．解：四個(gè)平面決定的區(qū)域D為：在區(qū)域D內(nèi)部從而所

4、截得的立體的體積6．化下列二次積分為極坐標(biāo)系下的二次積分：（1）21院系班級(jí)姓名作業(yè)編號(hào)（2）；7．利用極坐標(biāo)計(jì)算下列積分：（1），其中D是由圓周所圍成的閉區(qū)域；解：D是圓周，即從而（2），其中是由圓所圍成的閉區(qū)域；解：D是圓周?chē)?，知其為從而原?（3），D是與所確定的閉區(qū)域；解：D是圓環(huán)的關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩部分，，與從而原式=（由對(duì)稱(chēng)性更簡(jiǎn)單：因?yàn)?，?duì)稱(chēng)點(diǎn)的積分微元反號(hào)）21院系班級(jí)姓名作業(yè)編號(hào)（4），其中D是介于兩圓和之間的閉區(qū)域．解：D介于兩圓之間，可知從而原式=8．用適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)計(jì)算下列積分：（1），其中是由直線

5、，，，（）所圍成的閉區(qū)域；解：作圖知由直角坐標(biāo)表達(dá)方便，（2），其中是由圓周所圍成的閉區(qū)域；解：由表達(dá)式由極坐標(biāo)表達(dá)方便，，原式=（3），D：；解：先作坐標(biāo)軸平移，再用極坐標(biāo)原式=21院系班級(jí)姓名作業(yè)編號(hào)（4），D：．解：用廣義極坐標(biāo)原式=21院系班級(jí)姓名作業(yè)編號(hào)作業(yè)11三重積分的概念與計(jì)算1．試將三重積分化為三次積分，其中積分區(qū)域分別為：（1）由雙曲拋物面及平面所圍的閉區(qū)域；（2）由曲面及所圍的閉區(qū)域．2．計(jì)算下列三重積分：（1），其中為平面，所圍成的四面體；解：分析邊界作圖知為，原式=（2），其中是由曲面與平面所圍

6、的閉區(qū)域；解：分析邊界作圖知為，原式=（3），其中是由平面及拋物柱面所圍的閉區(qū)域．解：分析邊界作圖知為，原式=21院系班級(jí)姓名作業(yè)編號(hào)3．利用柱面坐標(biāo)計(jì)算下列三重積分：（1），其中是曲面和平面所圍成的閉區(qū)域；解：原式（2），其中是曲面及所圍成的閉區(qū)域；解：原式（3），其中是曲面和平面所圍成的閉區(qū)域；解：原式（4），其中是曲面和平面所圍成的閉區(qū)域．解：先作坐標(biāo)軸平移，再用柱坐標(biāo)原式=21院系班級(jí)姓名作業(yè)編號(hào)4．利用球面坐標(biāo)計(jì)算下列三重積分：（1），其中是球面所圍成的閉區(qū)域；解：原式（2），其中是由不等式（），所確定的閉區(qū)

7、域；解：原式（3），其中是不等式，所確定的閉區(qū)域．解：原式5.選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)計(jì)算下列三重積分：（1），其中是柱面及平面，所圍成的在第一卦限內(nèi)的閉區(qū)域；解：用柱坐標(biāo)21院系班級(jí)姓名作業(yè)編號(hào)原式=（2），其中是球面所圍的閉區(qū)域；解：用球坐標(biāo)原式（3），其中是由曲面及平面所圍的閉區(qū)域；解：用柱坐標(biāo)原式=（4），其中是球面所圍的在第一卦限內(nèi)的閉區(qū)域；解：用球坐標(biāo)原式（5），其中是橢球面所圍成的閉區(qū)域．解：用廣義球坐標(biāo)21院系班級(jí)姓名作業(yè)編號(hào)原式21院系班級(jí)姓名作業(yè)編號(hào)作業(yè)12重積分的應(yīng)用1．球心在原點(diǎn)，半徑為的球體，在其上任意

8、一點(diǎn)的體密度與該點(diǎn)到球心的距離成正比，求這球體的質(zhì)量．解：設(shè)球面的方程為，球的密度為則球體的質(zhì)量為2．求球體的質(zhì)心，這里假設(shè)球體內(nèi)各點(diǎn)處的密度等于該點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方．解：由對(duì)稱(chēng)性，質(zhì)心應(yīng)該在z軸上，可設(shè)為，3．設(shè)均勻平面薄片為橢圓形閉區(qū)域：，求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量．解：用廣義極坐標(biāo)21院系班級(jí)姓名作業(yè)編號(hào)4．設(shè)半徑為的球體內(nèi)每一點(diǎn)密度