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《高中數(shù)學(xué) 4.1 坐標(biāo)系 4.1.3 球坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系同步測(cè)控 蘇教版選修4-4》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、4.1.3球坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系同步測(cè)控我夯基，我達(dá)標(biāo)1.設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為（-1，，3），則它的柱坐標(biāo)是（）A.（2，，3）B.（2，，3）C.（2，，3）D.（2，，3）解析：∵ρ==2，θ=，z=3,∴M的柱坐標(biāo)為（2，，3）.答案：C2.設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為（-1，-1，），則它的球坐標(biāo)為（）A.（2，，）B.（2，，）C.（2，，）D.（2，，）解析：由坐標(biāo)變換公式，得r==2,cosθ==,∴θ=.tanφ==-=1,∴φ=.∴M的球坐標(biāo)為（2，，）.答案：B3.已知點(diǎn)M的球坐標(biāo)為（4，，），則它的直角坐標(biāo)為_____________
2、_，它的柱坐標(biāo)是______________.解析：由坐標(biāo)變換公式直接得直角坐標(biāo)和柱坐標(biāo).答案：（-2，2，2）（2，，2）.4.設(shè)點(diǎn)M的柱坐標(biāo)為（2，，7），則它的直角坐標(biāo)為______________.解析：∵ρ=2,θ=,z=7,∴x=ρcosθ=2cos=,y=ρsinθ=2sin=1.∴點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為（，1，7）.答案：（，1，7）5.在球坐標(biāo)系中，方程r=1表示，方程θ=表示空間的______________.解析：數(shù)形結(jié)合，根據(jù)球坐標(biāo)的定義判斷形狀.答案：球心在原點(diǎn)，半徑為1的球面頂點(diǎn)在原點(diǎn)，軸截面頂角為,中心軸為z軸的圓錐
3、面6.設(shè)地球的半徑為R，在球坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（R，45°，70°），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（R，45°，160°），求A、B兩點(diǎn)的球面距離.思路分析：要求A、B兩點(diǎn)間球面距離，要把它放到△AOB中去分析，只要求得∠AOB的度數(shù)，AB的長度，就可求球面距離.解：如圖，由點(diǎn)A、B的球坐標(biāo)可知，∠BOO′=45°，∠AOO′=45°，這兩個(gè)點(diǎn)都在北緯90°-45°=45°圈上.設(shè)緯度圈的圓心為O′，地球中心為O，則∠xOQ=70°,∠xOH=160°，∴∠AO′B=160°-70°=90°.∵OB=R，∴O′B=O′A=R.∴AB=R.則AO=BO=
4、AB=R.∴∠AOB=60°.∴=·2πR=R.即A、B兩點(diǎn)間的球面距離為R.我綜合，我發(fā)展7.已知點(diǎn)P的柱坐標(biāo)為（，，5），點(diǎn)B的球坐標(biāo)為（，，），則這兩個(gè)點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（）A.P點(diǎn)（5，1，1），B點(diǎn)（，，）B.P點(diǎn)（1，1，5），B點(diǎn)（，，）C.P點(diǎn)（，，），B點(diǎn)（1，1，5）D.P點(diǎn)（1，1，5），B點(diǎn)（，，）解析：此題考查空間直角坐標(biāo)系與空間柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系的互化.只要我們記住互化公式,問題就能夠解決.球坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式為柱坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式為設(shè)P點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(x,y,z),則x=cos=×
5、=1,y=sin=1,z=5.設(shè)B點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(x,y,z),則x=sincos=××=,y=sinsin=××=,z=cos=×=.所以點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(1,1,5),點(diǎn)B的直角坐標(biāo)為(,,).選B.答案：B8.如圖，在柱坐標(biāo)系中，長方體ABCO-A1B1C1O1的一頂點(diǎn)在原點(diǎn),另兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A1（4，0，5），C1（6，，5），則此長方體外接球的體積為______________.解析：由頂點(diǎn)的柱坐標(biāo)求出長方體的三邊長,其外接球的直徑恰為長方體的對(duì)角線長.由長方體的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)A1(4,0,5),C1(6,,5),可知OA=4,OC
6、=6,OO1=5.則對(duì)角線長為.那么球的體積為·π·()3=.答案：9.用兩平行平面去截球，如圖，在兩個(gè)截面圓上有兩個(gè)點(diǎn)，它們的球坐標(biāo)分別為A（25，arctan，θA）、B（25，π-arctan,θB）,求出這兩個(gè)截面間的距離.思路分析：根據(jù)已知可得球半徑為25,這樣,我們就可以在Rt△AOO1和Rt△BOO2中求出OO1及OO2的長度,從而可得兩個(gè)截面間的距離O1O2.解：由已知,OA=OB=25,∠AOO1=arctan,∠BOO1=π-arctan,即在△AOO1中,tan∠AOO1==；在△BOO2中,∠BOO2=arctan,
7、tan∠BOO2==.∵OA=25,∴OO1=7；又∵OB=25,∴OO2=20.則O1O2=OO1+OO2=7+20=27，即兩個(gè)截面間的距離O1O2為27.10.在赤道平面上，我們選取地球球心O為極點(diǎn)，以O(shè)為端點(diǎn)且與零子午線相交的射線OX為極軸，建立坐標(biāo)系.有A、B兩個(gè)城市，它們的球坐標(biāo)分別為A（R，，）、B（R，，），從A到B，飛機(jī)應(yīng)該走怎樣的航線最短，其最短航程為多少？思路分析：我們根據(jù)A、B兩地的球坐標(biāo)找到地球的半徑、緯度、經(jīng)度,當(dāng)飛機(jī)走A、B兩地的大圓時(shí),航線最短,所走的航程實(shí)際上是求過A、B兩地的球面距離.解：如圖所示,因?yàn)锳
8、(R,,),B(R,,),可知∠AOO1=∠BOO1=.又∠xOC=,∠xOD=,∴∠COD=-=.∴∠AO1B=∠COD=.在Rt△OO1B中,∠O1OB=,OB=R,∴O1B
