彈性靜力學(xué)小位移變形理論的變分原理16k

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1、第5章彈性靜力學(xué)小位移變形理論的變分原理對(duì)連續(xù)體來(lái)說(shuō),其數(shù)學(xué)上的處理方法是利用給定的邊界條件下的微分方程(或偏微分方程),并在一定的邊界條件下求得其解,這種解析方法,實(shí)際做起來(lái)往往遇到很大的困難,使許多工程實(shí)際問(wèn)題的計(jì)算模型很難建立,滿足不了實(shí)際需要。自從五十年代直剛法問(wèn)世以來(lái),利用離散化的方法,將一個(gè)連續(xù)體劃分為有限數(shù)量及具有一定幾何形狀的單元體,即有限單元,再按照一定的過(guò)程進(jìn)行計(jì)算,這就使得過(guò)去許多工程計(jì)算感到困難的問(wèn)題得到解決,這種方法不受結(jié)構(gòu)特殊幾何形狀的限制,因此,它的適應(yīng)范圍是相當(dāng)廣泛的。有限元素法的提出和應(yīng)用,是工程分析

2、方法上的一次重大的變革,隨著理論探討上的深入及計(jì)算機(jī)性能的不斷提高,使得解的精確性不斷地得到改進(jìn),以至使得有限元素法成為當(dāng)前計(jì)算領(lǐng)域方面的一個(gè)強(qiáng)有力的工具,無(wú)論對(duì)結(jié)構(gòu)問(wèn)題(如靜力學(xué)、動(dòng)力學(xué))、非結(jié)構(gòu)問(wèn)題(如流體力學(xué)、光學(xué)、電磁學(xué))以及許多邊緣學(xué)科等都得到廣泛的應(yīng)用。有限元素法的解題過(guò)程和步驟在一般的有關(guān)有限元法教課書和著作中均有詳細(xì)討論,本章不再贅述。變分原理是有限元素法的基礎(chǔ),要很好地理解有限元素法,則應(yīng)該對(duì)能量變分原理有一個(gè)較系統(tǒng)地了解。本章的目的是盡可能地對(duì)這些能量變分原理作系統(tǒng)性的介紹,從一般常用的最小位能原理和最小余能原理,

3、引深到引用拉格朗日乘子法(LagrangeMultipleMethod)的完全及不完全廣義變分原理和為分區(qū)集合體的分區(qū)(Sub-region)廣義變分原理,這將涉及到以混合(Mixed)模型和雜交(Hybrid)模型為基礎(chǔ)的變分原理。在此基礎(chǔ)上,針對(duì)不同變分原理,進(jìn)一步說(shuō)明了有限元素法中的元素的剛度特性和推導(dǎo)元素剛度矩陣的一般過(guò)程及表達(dá)顯式,以及變分原理在結(jié)構(gòu)分析中的若干應(yīng)用實(shí)例,使讀者能比較清晰地了解各類變分原理與建立有限元模型之間的關(guān)系?!?.1小位移彈性理論的最小位能原理與最小余能原理設(shè)在卡氏直角坐標(biāo)系中,坐標(biāo)參數(shù)為,體積為的彈

4、性體中任意一點(diǎn)的位移參數(shù)為、應(yīng)力分量為以及應(yīng)變分量為。由線彈性力學(xué)理論,我們可以得到如下的用于描述一個(gè)彈性靜力學(xué)小位移變形問(wèn)題的基本方程式。(1)力的平衡方程(在內(nèi))(5-1)式中表示體力,表示應(yīng)力分量對(duì)坐標(biāo)分量的偏導(dǎo)數(shù)(以下相同)。(2)應(yīng)變位移關(guān)系式(幾何關(guān)系)(在內(nèi))(5-2)(3)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系式(物理關(guān)系)(5-3)(5-3’)式中為彈性模量系數(shù),為勁度系數(shù),和都具有對(duì)稱性。(4)在彈性體的邊界上,表面S可劃分為兩部分:外力已知的邊界及位移為已知的邊界,前者稱為力的邊界,后者稱為位移邊界,即(5-4)-82-在力的邊界上,(5

5、-5)式中為已知邊界力,為的邊界外法線向量與坐標(biāo)軸夾角的方向余弦。在位移邊界上,(5-6)式中為已知邊界位移。(5-5)式和(5-6)式統(tǒng)稱為“邊界條件”。上述的諸方程共有15個(gè),即3個(gè)平衡方程,6個(gè)應(yīng)變位移關(guān)系方程,6個(gè)物理關(guān)系方程。而未知變量也共計(jì)15個(gè):6個(gè)應(yīng)力分量,6個(gè)應(yīng)變分量和3個(gè)位移分量。因此該問(wèn)題是可以求解的。小位移變形彈性體的應(yīng)變能泛函(或應(yīng)變能密度)和余應(yīng)變能泛函(余應(yīng)變能密度)可表示為(5-9)(5-10)不難看出,和有以下關(guān)系,(5-11)并且容易證明(5-12)(5-13)(一)虛功原理與總位能原理這里用和分別

6、表示應(yīng)變變分和位移變分,在虛功原理中可視為虛應(yīng)變和虛位移。則由虛功原理可寫出虛功方程為(5-14)(5-14)式成立是有條件的,要求和在彈性體內(nèi)部滿足應(yīng)變位移關(guān)系和在位移邊界上滿足給定位移邊界條件,即(在V內(nèi))(5-15a)(在上)(5-15b)虛功原理表明,如果彈性體在給定的體力和邊界力作用下處于平衡狀態(tài),則對(duì)于為位移邊界條件所容許的任意虛位移,(5-14)式成立。反過(guò)來(lái),如果(5-14)式對(duì)于為位移邊界條件所容許的任意虛位移成立,則彈性體處于平衡狀態(tài)。值得提出的是,不管材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是線性還是非線性,虛功原理都成立。如果用下面

7、泛函表示彈性體的總位能,(5-16)對(duì)(5-16)式取駐值,即一階變分等于零,-82-(5-17)將(5-14)式與(5-17)式比較,顯然,(5-17)式就是(5-14)式。所以,可以把總位能原理理解為虛功原理的另一種表達(dá)形式。由于(5-18)利用格林公式,上式等號(hào)右邊積分可變換為并引用(5-15b)式,則(5-17)式可化為因?yàn)闉楠?dú)立量,則由總位能駐值條件可導(dǎo)出:平衡方程(5-1)即(在V內(nèi))及力的邊界條件(5-5)即(在上)。(5-16)式表達(dá)了彈性體的最小位能原理:在滿足應(yīng)變位移關(guān)系(5-2)和位移邊界條件(5-6)的所有容許

8、的中,實(shí)際的使彈性體的總位能取最小值。(二)余虛功原理與總余能原理余虛功原理中,可取表示彈性體內(nèi)的應(yīng)力變分,即虛應(yīng)力。另外,表示彈性體指定位移邊界上的表面邊界力的變分。與虛功方程相類似的余虛功方程可表示為(5-19)余虛

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