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《彈性薄板小撓度彎曲問題的基礎(chǔ)變分原理(16k》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在應(yīng)用文檔-天天文庫(kù)。
1、第6章彈性薄板小撓度彎曲問題的基礎(chǔ)變分原理平分板厚度的平面稱為板的中面，一般地，當(dāng)板的厚度不大于板中面最小尺寸的時(shí)的板稱為薄板，薄板的中面是一個(gè)平面。薄板在垂直于中面的載荷作用下發(fā)生彎曲時(shí)，中面變形所形成的曲面稱為彈性曲面或撓度面，中面內(nèi)各點(diǎn)在未變形中面垂直方向的位移稱為板的撓度。薄板彎曲的精確理論應(yīng)是滿足彈性力學(xué)的全部基本方程，但這在數(shù)學(xué)上將會(huì)遇到很大的困難。1850年，G.R.基爾霍夫（KirchhoffGustavRobert，基爾霍夫古斯塔夫·羅伯特，德國(guó)物理學(xué)家，1824-1887年）除采用彈性力學(xué)的基本假設(shè)外，還提出了一些補(bǔ)充的假設(shè)，從而建立起了薄板
2、小撓度彎曲的近似理論。這些假設(shè)是：第一，變形前垂直于板中面的直線，在板變形后仍為直線，并垂直于變形后的中面，而且不經(jīng)受伸縮；第二，與中面平行的各面上的正應(yīng)力與應(yīng)力,和相比屬于小量；第三，在橫向載荷作用下板發(fā)生彎曲時(shí)，板的中面并不伸長(zhǎng)，這也就是說(shuō)，薄板中面內(nèi)各點(diǎn)都沒有平行于中面的位移分量。用變分法可以導(dǎo)出薄板彎曲問題的平衡微分方程和邊界條件。當(dāng)板的形狀和邊界條件較復(fù)雜時(shí)，直接求解偏微分方程時(shí)比較困難的，以變分法為基礎(chǔ)的各種近似解是求解這類問題的一個(gè)重要途徑。本章討論了用于薄板小撓度彎曲問題的一些基礎(chǔ)變分原理，這包括虛功原理、最小位能原理、最小余能原理、兩類自變量廣
3、義變分原理并推廣到三類自變量廣義變分原理。§6.1基本方程與邊界條件回顧取坐標(biāo)平面與中面重合，軸垂直于中面，,和軸構(gòu)成一個(gè)右手直角笛卡兒坐標(biāo)系。變形后的板內(nèi)各點(diǎn)沿,和軸方向的位移分別用,和表示。由Kirchhoff假設(shè)，可以得到，，（6-1）并利用彈性力學(xué)中位移與應(yīng)變之間的關(guān)系式，可以得到薄板中任意點(diǎn)的應(yīng)變分量為，，（6-2）其余3個(gè)應(yīng)變分量,和根據(jù)假設(shè)都等于零，即，，（6-3）由薄板的平衡關(guān)系，可以確定板的橫向分布載荷與剪力,以及彎矩,和扭矩（,,統(tǒng)稱為內(nèi)力矩）與,之間的關(guān)系式。這里要注意，,,是單位中面寬度內(nèi)的內(nèi)力矩，它們的因次是千克力，,是單位中面寬度內(nèi)的
4、內(nèi)力，它們的因次是千克力/米。彎矩、扭矩和剪力的正方向如圖6-1所示。圖6-1彎矩、扭矩和剪力的正方向平衡方程為-99-（6-4）在薄板彎曲理論中，剪力,不產(chǎn)生應(yīng)變，因而也不作功，因此可以從（6-4）式中消去,，得到（6-5）以后凡提到薄板彎曲平衡方程，都是指（6-5）式而言。而內(nèi)力,不再作為獨(dú)立的量看待。上面兩組方程僅僅是力的平衡方程，它們未涉及到板的材料性質(zhì)。與內(nèi)力矩相對(duì)應(yīng)的廣義應(yīng)變是撓度面的曲率，在小撓度彎曲理論中，它們與撓度的關(guān)系為，，（6-6）內(nèi)力矩與曲率的關(guān)系可以通過應(yīng)變能密度表示出來(lái)，若將表示為的函數(shù)，則有，，（6-7）這種關(guān)系式對(duì)于線性或非線性材
5、料都成立。對(duì)于線性的彈性體，是的正定的二次齊次函數(shù)。在各向同性的情況下，的算式為（6-8）將（6-8）式代入（6-7）式，然后再將（6-6）式代入，得到內(nèi)力矩與撓度的關(guān)系式為（6-9）以上各式中稱為板的彎曲剛度，其中為板的厚度，為材料的泊松系數(shù)。如果我們定義為廣義應(yīng)變，為廣義應(yīng)力，即-99-（6-10）則有（6-11）式中的為彎曲剛度矩陣。（6-8）式可以寫為（6-12）余應(yīng)變能密度看作是內(nèi)力矩,,的函數(shù)，其值定義為（6-13）并且有，，（6-14）同樣，對(duì)于線性的彈性體，是,,的正定的二次齊次函數(shù)。如果以廣義應(yīng)力表示余應(yīng)變能密度，則有（6-15）式中。（6-1
6、2）式與（6-15）式都是以后經(jīng)常要用到的表達(dá)式。注意，對(duì)于線彈性薄板，應(yīng)變能密度與余應(yīng)變能密度在數(shù)值上是相等的，即。將（6-9）式代入（6-5）式，得到以撓度表示的各向同性薄板的平衡方程為（6-16）或（6-16/）在處理具體問題時(shí)，經(jīng)常遇到坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)而引起的變換。如果坐標(biāo)由轉(zhuǎn)變?yōu)?，如圖6-2所示，則兩個(gè)坐標(biāo)系中坐標(biāo)的關(guān)系為（6-17）對(duì)于撓度，有，從而圖6-2坐標(biāo)轉(zhuǎn)換（6-18）及二階偏導(dǎo)為-99-（6-19）彎矩、扭矩的變換公式為（6-20）剪力的變換公式為（6-21）在板的彎曲問題中，有三種典型的邊界條件，簡(jiǎn)述如下。設(shè)為板在平面上的定義域，板的邊界為，令為
7、沿邊界外向法線的方向，為邊界的切線，（,）的轉(zhuǎn)向與（,）的轉(zhuǎn)向是一致的，如圖6-3所示。第一種邊界為固支邊界，在這種邊界上，其撓度與法向斜率均為給定的，即有（在上）（6-22）第二種邊界為簡(jiǎn)支邊界，在這種邊界上，其撓度與法向彎矩為給定的，即有圖6-3板的邊界（在上）（6-23）第三種邊界為自由邊界，在自由邊界上，作用在邊界上的力為給定的。從內(nèi)力和力矩看，在邊界上共有三個(gè)，即，但其中并不完全獨(dú)立，因?yàn)閺淖鞴嵌葋?lái)看，和并不完全獨(dú)立。事實(shí)上，若邊界上的撓度有一變分，則在上所作之功是（6-24）利用分部積分，上式又可以寫成（6-25）由（6-25）式可見，切向扭矩可以
8、分解為沿著周邊邊界的分布
