定積分與定積分的近似計算(1)

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1、第六講定積分與定積分的近似計算實驗?zāi)康模保ㄟ^本實驗加深理解積分理論中分割、近似、求和、取極限的思想方法.２．學(xué)習(xí)并掌握用matlab求不定積分、定積分、二重積分、曲線積分的方法.３．學(xué)習(xí)matlab命令sum、symsum與int.4.了解定積分近似計算的矩形法、梯形法。實驗內(nèi)容１．學(xué)習(xí)matlab命令（１）求和命令sum調(diào)用格式.sum(x)，給出向量x的各個元素的累加和，如果x是矩陣，則sum(x)是一個元素為x的每列列和的行向量.例1.x=[1，2，3，4，5，6，7，8，9，10]；su

2、m(x)ans=55例2.x=[1，2，3；4，5，6；7，8，9]x=123456789sum(x)ans=121518（２）求和命令symsum調(diào)用格式.symsum(s，n)，求symsum(s，k，m，n)，求當(dāng)x的元素很有規(guī)律，比如為表達(dá)式是的數(shù)列時，可用symsum求得x的各項和，即symsum=symsum=例3.symsknsymsum(k，1，10)ans=55symsum(k^2，k，1，n)ans=1/3*(n+1)^3-1/2*(n+1)^2+1/6*n+1/6（３）mat

3、lab積分命令int調(diào)用格式int(函數(shù))計算不定積分int(函數(shù)，變量名)計算不定積分int(函數(shù))計算定積分int(函數(shù)變量名)計算定積分２．計算不定積分例4.計算解:輸入命令:int(x^2*log(x))可得結(jié)果:ans=1/3*x^3*log(x)-1/9*x^3注意設(shè)置符號變量.例5.計算下列不定積分:1.2.3.解:首先建立函數(shù)向量.symsxsymsapositive%a是一個正的符號變量y=[sqrt(a^2-x^2)，(x-1)/(3*x-1)^(1/3)，x^2*asin(x

4、)]；然后對y積分可得對y的每個分量積分的結(jié)果.int(y，x)ans=[1/2*x*(a^2-x^2)^(1/2)+1/2*a^2*asin(1/a*x),1/15*(3*x-1)^(5/3)-1/3*(3*x-1)^(2/3),1/3*x^3*asin(x)+1/9*x^2*(1-x^2)^(1/2)+2/9*(1-x^2)^(1/2)]３．定積分的概念.定積分是一個和的極限.取，積分區(qū)間為[0,1]，等距劃分為20個子區(qū)間x=linspace(0，1，21)；選取每個子區(qū)間的端點(diǎn)，并計算端點(diǎn)

5、處的函數(shù)值.y=exp(x)；取區(qū)間的左端點(diǎn)乘以區(qū)間長度全部加起來.y1=y(1:20)；s1=sum(y1)/20s1=1.6757s1可作為的近似值.若選取右端點(diǎn):y2=y(2:21)；s2=sum(y2)/20s2=1.7616s2也可以作為的近似值.下面我們畫出圖象.plot(x，y)；holdonfori=1:20fill([x(i)，x(i+1)，x(i+1)，x(i)，x(i)]，[0，0，y(i)，y(i)，0]，’b’)end如果選取右端點(diǎn)，則可畫出圖象.fori=1:20；fi

6、ll([x(i)，x(i+1)，x(i+1)，x(i)，x(i)]，[0，0，y(i+1)，y(i+1)，0]，’b’)holdonendplot(x，y，’r’)在上邊的語句中，for…end是循環(huán)語句，執(zhí)行語句體內(nèi)的命令20次，fill命令可以填充多邊形，在本例中，用的是蘭色(blue)填充.從圖上看，當(dāng)分點(diǎn)逐漸增多時，的值越來越小，讀者可試取50個子區(qū)間看一看結(jié)果怎樣.下面按等分區(qū)間計算symskns=symsum(exp(k/n)/n，k，1，n)；limit(s，n，inf)得結(jié)果ans

7、=exp(1)-1４．計算定積分和廣義積分.例6.計算.解:輸入命令:int(exp(x)，0，1)得結(jié)果ans=exp(1)-1.這與我們上面的運(yùn)算結(jié)果是一致的.例7.計算解:輸入命令:int(abs(x-1)，0，2)得結(jié)果ans=1.本例用mathematica軟件不能直接求解.例8.判別廣義積分、與的斂散性，收斂時計算積分值.解:對第一個積分輸入命令:symspreal；int(1/x^p，x，1，inf)得結(jié)果ans=limit(-1/(p-1)*x^(-p+1)+1/(p-1)，x=i

8、nf).由結(jié)果看出當(dāng)時，x^(-p+1)為無窮，當(dāng)時，ans=1/(p-1)，這與課本例題是一致的.對第二個積分輸入命令:int(1/(2*pi)^(1/2)*exp(-x^2/2)，-inf，inf)得結(jié)果:ans=7186705221432913/18014398509481984*2^(1/2)*pi^(1/2)由輸出結(jié)果看出這兩個積分收斂.對后一個積分輸入命令:int(1/(1-x)^2，0，2)結(jié)果得ans=inf.說明這個積分是無窮大不收斂.例9.求積分解:輸入命令:i