函數(shù)的單調(diào)性與凸性

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1、第四節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性一、函數(shù)的單調(diào)性1、函數(shù)單調(diào)性的判定定理定理4.3設(shè)函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，那么①如果時，恒有在內(nèi)遞增（等號僅在有限個點(diǎn)處成立）②如果時，恒有在內(nèi)遞減（等號僅在有限個點(diǎn)處成立）注：定理中的區(qū)間也可換成其它形式的各種區(qū)間122、補(bǔ)充概念1．駐點(diǎn)：使的點(diǎn)，稱為的駐點(diǎn)。2．臨界點(diǎn)：函數(shù)的駐點(diǎn)與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)統(tǒng)稱為臨界點(diǎn)。例1確定的單調(diào)增減區(qū)間-11+-+注：（1）復(fù)習(xí)序軸標(biāo)根法：①每個因子中的系數(shù)為正12②數(shù)軸上只標(biāo)出單重根③畫波浪線時總是從右上側(cè)入手。（2）單調(diào)性的一般步驟①解方程求出所有的根及導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，

2、即臨界點(diǎn)②將所有的臨界點(diǎn)從小到大排列劃分函數(shù)的定義域，列表，由判定定理寫出結(jié)果③最后寫出綜合的結(jié)果例2確定的增減性例3（補(bǔ)充）確定的單調(diào)區(qū)間3、利用單調(diào)性證明不等式12例4（補(bǔ)充）①當(dāng)時，求證：②當(dāng)時，求證：補(bǔ)充(900406)當(dāng)時，求證：二、曲線的凹向與拐點(diǎn)1．曲線的凹向概念定義4.2曲線弧位于其上任意一點(diǎn)切線的上方曲線在這個區(qū)間上上凹的U曲線弧位于其上任意一點(diǎn)切線的12下方曲線在這個區(qū)間上下凹的下凹上凹U定義：設(shè)在區(qū)間I內(nèi)連續(xù)，如果對I上任意的兩點(diǎn)恒有：凹的凸的注：①常用凸凹性來證明不等式。如習(xí)題3——4：8（3）12設(shè)即可。②特

3、別的：如果曲線是凹的，且則對有利用它來證明不等式。例：習(xí)題3——4：8（5）12設(shè)凸的又，故對任意的有2、曲線凸凹性的判定定理定理7設(shè)在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，則12①有上凹②有下凹3．曲線的拐點(diǎn)及其判斷1）．定義3曲線上凹與下凹的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn)。2）．拐點(diǎn)的判定定理區(qū)間+U-拐點(diǎn)-n+U拐點(diǎn)+U+U12無拐點(diǎn)-n-n注：（1）只關(guān)心在左右鄰近，存在且符號相反，則為拐點(diǎn)。與，存在與否無關(guān)。（2）拐點(diǎn)的可能取值：①或②12不存在的點(diǎn)（可能存在，也可能不存在）例1求的凹向與拐點(diǎn)解：01區(qū)間+-+UnU拐點(diǎn)拐點(diǎn)例2求的凹向與拐點(diǎn)12解：（不存

4、在的點(diǎn)）2區(qū)間-+nU拐點(diǎn)三、小結(jié)：（1）單調(diào)性與極值：求出的根，不存在的點(diǎn)，然后再列表討論。（2）凸凹性與拐點(diǎn)：求出的根，12不存在的點(diǎn)，然后再列表討論。作業(yè)：課堂練習(xí)3——4：1，2習(xí)題3——4：1，2，4（1）（4）（5）（8）5（1）（2）（6），6，7（1）（3）（9），8（3）（5），912