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《函數(shù)單調(diào)性與凸性的判別法》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、第九節(jié)函數(shù)單調(diào)性與凸性的判別法一、單調(diào)性的判別法二、凸性及其判別法一、函數(shù)單調(diào)性的判別法1、單調(diào)性的判別法定理(函數(shù)單調(diào)性的判定法)備注證例1解注意函數(shù)的單調(diào)性是一個區(qū)間上的性質(zhì)，要用導(dǎo)數(shù)在這一區(qū)間上的符號來判定，而不能用一點處的導(dǎo)數(shù)符號來判別一個區(qū)間上的單調(diào)性．2、單調(diào)區(qū)間求法定義:若函數(shù)在其定義域的某個區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，這時也稱函數(shù)是該區(qū)間的單調(diào)函數(shù).導(dǎo)數(shù)等于零的點和不可導(dǎo)點，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的方法:例2解?函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間為：函數(shù)的單調(diào)減少區(qū)間為：例2解?函數(shù)的單
2、調(diào)增加區(qū)間為：函數(shù)的單調(diào)減少區(qū)間為：說明:1)單調(diào)區(qū)間的分界點除駐點外,也可以是導(dǎo)數(shù)不存在的點.例32)如果函數(shù)在某駐點兩邊導(dǎo)數(shù)同號,則不改變函數(shù)的單調(diào)性.例4例5解3)注意若區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)為零的點只是孤立點,則不影響區(qū)間的單調(diào)性,即函數(shù)在區(qū)間內(nèi)仍是單調(diào)的.例如,3、利用單調(diào)性可以證明不等式例6例7例7證例證例證4、利用單調(diào)性可以證明根的唯一性例8此種題型應(yīng)先證明根的存在性，再證明唯一性.5、小結(jié)單調(diào)性的判別是拉格朗日中值定理的重要應(yīng)用.定理中的區(qū)間換成其它有限或無限區(qū)間，結(jié)論仍然成立.應(yīng)用：利用函數(shù)的單調(diào)性可以確定某些方程
3、實根的個數(shù)和證明不等式.二、函數(shù)的凸性及其判別法1.函數(shù)凹凸的定義問題:如何用數(shù)量方法來刻劃曲線的彎曲方向?圖形上任意弧段位于所張弦的上方圖形上任意弧段位于所張弦的下方定義:2.函數(shù)凹凸性的判別法判別法2判別法1例1解注意到,例2解說明:若在某點二階導(dǎo)數(shù)為0,在其兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號,則函數(shù)的凹凸性不變.3、曲線的拐點及其求法1)定義注意拐點處若存在切線，則必在拐點處穿過曲線.2)拐點的求法證求拐點的方法:例3解下凸上凸下凸拐點拐點例4解不存在下凸上凸注意:結(jié)論：若曲線y=f(x)在點x0連續(xù),或不存在,但在點x0兩側(cè)異號
4、,則點是曲線y=f(x)的一個拐點.求拐點的步驟：step1求二階導(dǎo)數(shù)等于零和不存在的點x0.step2判斷二階導(dǎo)數(shù)在這些點的左右兩側(cè)是否異號.step3寫出拐點.4、利用函數(shù)的凸性證明不等式例證明:當(dāng)時，有證明:令,則上是下凸函數(shù),即證5、小結(jié)曲線的彎曲方向——凸性;改變彎曲方向的點——拐點;函數(shù)凹凸性的判定曲線凹凸與拐點的判別思考與練習(xí)提示:利用單調(diào)增加,及B上則或的大小順序是()1.設(shè)在提示:及.的凹區(qū)間是凸區(qū)間是拐點為;;2.曲線有位于一直線的三個拐點.3.求證曲線證明：令得從而三個拐點為因為所以三個拐點共線.解
5、不能斷定.例但當(dāng)時，當(dāng)時，注意可以任意大，故在點的任何鄰域內(nèi)，都不單調(diào)遞增．解例如求拐點方法2:例解練習(xí)題練習(xí)題答案練習(xí)題練習(xí)題答案
