中值定理羅必塔法則

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1、第三章中值定理、羅必塔法則、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、學(xué)習(xí)目的與要求1、加深理解羅爾定理和拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒公式。2、會應(yīng)用中值定理做一些證明題。3、熟練掌握用羅必塔法則求未定式的極限。4、理解函數(shù)的極值概念。5、掌握求函數(shù)的極值，判斷函數(shù)的增減性與函數(shù)圖形的凹凸性，求函數(shù)圖形的拐點。6、能描繪函數(shù)的圖形（包括水平與鉛直漸近線）。7、會解較簡單的最大值和最小值的應(yīng)用問題。8、知道曲率及曲率半徑的概念，并會計算曲率和曲率半徑。二、學(xué)習(xí)重點中值定理的應(yīng)用函數(shù)最值的求法及函數(shù)圖形的描繪三、內(nèi)容提要1、微分中值定理名稱定

2、理簡圖幾何意義羅爾（Rolle）定理若函數(shù)滿足在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，，使得若聯(lián)結(jié)曲線端點的弦是水平的，則曲線上必有一點，該點的切線是水平的。拉格朗日(Lagrange)中值定理若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，，使得或者（）曲線上總存在一點，該點的切線與連結(jié)曲線端點的直線平行。推論1在定理條件下，若則常數(shù)推論2若、都滿足定理條件，且（c為常數(shù)）柯西(Cauchy)定理若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則使得同上，只是曲線由參數(shù)方程（≤≤）462、羅必達(dá)法則（L’Hospital）類型條件結(jié)論型與型設(shè)當(dāng)時與

3、均為無窮?。ɑ蚓鶠闊o窮大），且存在，使、在內(nèi)可微且注1將結(jié)論中的換成或，且其它條件亦作相應(yīng)變動，結(jié)論仍成立。注2其它未定型轉(zhuǎn)化為型型的形式。3、泰勒（Taylor）定理設(shè)函數(shù)在含的某開區(qū)間內(nèi)具有直至階導(dǎo)數(shù)，則有其中在與之間，稱為在處的拉格朗日余項。特別，在上式中令,得此公式稱為麥克勞林公式稱為帶有皮亞諾（Peano）余項的泰勒公式稱為帶皮亞諾余項的麥克勞林公式注在學(xué)習(xí)過程中應(yīng)注意上述四個定理之間的關(guān)系4、函數(shù)的性質(zhì)（I）單調(diào)性定理設(shè)在[]上連續(xù)，在（）內(nèi)可微。46（i）在[]上單調(diào)增（單調(diào)減）的充要條件是在（）內(nèi)。（ii）

4、在[]上嚴(yán)格單調(diào)增（嚴(yán)格單調(diào)減）的充要條件是在（）內(nèi)，且使=0的點不充滿（）的任何子區(qū)間。（II）極值（1）極值的概念設(shè)在點及其鄰域有定義，對于充分接近的所有,若<則稱函數(shù)在=處取得極大值；若>，則稱函數(shù)在=處取得極小值。函數(shù)的極大值和極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值;使取得極值的點稱為函數(shù)的極值點。若函數(shù)在點處可微，且，則稱點為函數(shù)的穩(wěn)定點（駐點）。（2）基本定理定理1（必要條件）一個函數(shù)只能在它的穩(wěn)定點及不可微點處取得極值。定理2（第一判定定理）設(shè)函數(shù)在點處連續(xù)，在的附近可微（點可除外），當(dāng)點漸增經(jīng)過點時，的符號由正（負(fù)）變負(fù)（

5、正），則在點處取得極大（?。┲怠６ɡ?（第二判定定理）設(shè)函數(shù)在點處具有二階導(dǎo)數(shù)，且，，則當(dāng)（）時函數(shù)在點處取得極大值（極小值）。（III）函數(shù)最大值、最小值的求法因為由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)知：在閉區(qū)間[]上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上必有最大值和最小值。所以若在[]上可微，則可用下面的方法求出它的最大值和最小值：先由極值的判定定理，求出函數(shù)的極值點，然后比較函數(shù)在所有極值點處的值與函數(shù)的區(qū)間端點的值，其中最大者就是最大值，最小者就是最小值。46若所考慮的區(qū)間為開區(qū)間或無窮區(qū)間，只要有辦法斷定最大值（最小值）是存在的，那么從所有極大

6、值（極小值）中選取最大（最?。┑木褪亲畲笾担ㄗ钚≈担Ｌ貏e地，若在開區(qū)間內(nèi)只有一個駐點時，最大值（最小值）則就在這個駐點處取得。（IV）函數(shù)的凸性及曲線的拐點定義1若連續(xù)曲線上任意兩點的弦恒在曲線段的上側(cè)（下側(cè)），則稱為下凸（上凸）函數(shù)，簡稱凸（凹）函數(shù)，而稱曲線為下凸（上凸）曲線。若對于任給與有則稱為在[]上的凸函數(shù)，若將上式中的“≤”換成“<”，則相應(yīng)地改稱為“凸函數(shù)”為“嚴(yán)格凸函數(shù)”。若為凸（嚴(yán)格凸）函數(shù)，則稱為凹（嚴(yán)格凹）函數(shù)。定義2連續(xù)曲線上凹與凸的分界點稱為曲線的拐點。定理設(shè)在（）內(nèi)二次可微，在[]上連續(xù)（i）

7、在[]上的凸（凹）函數(shù)的充要條件是在（）內(nèi)（）（ii）在[]上嚴(yán)格凸（凹）的充要條件是在（）內(nèi)（），且使的點不充滿（）的任何子區(qū)間。（V）曲線的漸近線定義當(dāng)曲線無限伸展時，若曲線上的點與某一直線的距離趨于0，則稱該直線為曲線的漸近線。漸近線的求法：鉛直漸近線若對于，有，則就是的鉛直漸近線。水平漸近線若，則為的水平漸近線。斜漸近線若都存在，則的斜漸近線。（VI）曲線的曲率設(shè)為曲線上一點，為曲線上異于的任一點，弧的長記為，過與的兩切線間的夾角為，當(dāng)46沿曲線趨近于時，（即0時）若存在，則稱這個極限為曲線在點的曲率，記為，即;而

8、稱為曲線在點的曲率半徑。在曲線凹方的一側(cè)，半徑為曲率半徑的圓稱為曲率圓，其圓心稱為曲率中心。曲率的計算公式：若曲線的方程為，則曲線在點（）處的曲率為曲率中心為若曲線的方程為則曲線在（）處的曲率為.（VII）函數(shù)的作圖步驟：第一步，求出函數(shù)的定義域；第二步，考察函數(shù)的奇、偶性，周期性；第三步，求出方程的根