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《用拉氏變換法解線性微分方程》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在應(yīng)用文檔-天天文庫。
1、用拉氏變換法解線性微分方程一基本定義∞0若函數(shù)f(t)，t為實(shí)變量，線積分∞0∫f(t)e-stdt(s為復(fù)變量)存在，則稱其為f(t)的拉氏變換，記為F(s)或￡[f(t)]，即F(s)=￡[f(t)]=∫f(t)e-stdt常稱：F(s)→f(t)的象函數(shù)；f(t)→F(s)的原函數(shù)。二基本思路用拉氏變換解線性微分方程，可將經(jīng)典數(shù)學(xué)中的微積分運(yùn)算轉(zhuǎn)化成代數(shù)運(yùn)算拉氏變換象函數(shù)微分方程解代數(shù)方程拉氏反變換象原函數(shù)（微分方程解）象函數(shù)代數(shù)方程f(t)三典型函數(shù)的拉氏變換11、單位階躍函數(shù)0f(t)=1(t)=1t≧0∞0∞0t0t<0F(
2、s)=￡[f(t)]=∫f(t)e-stdt=∫1e-stdt=1/sf(t)2、單位斜坡函數(shù)f(t)=t1(t)=tt≥0∞00t<0tF(s)=￡[f(t)]=∫te-stdt=1/s23、等加速度函數(shù)f(t)f(t)=1/2t2t≥0∞00t<0tF(s)=∫1/2t2e-stdt=1/s34、指數(shù)函數(shù)f(t)αtf(t)=et≥00t<0∞0tF(s)=∫1/2t2e-stdt=1/(s-α)f(t)5、正弦函數(shù)f(t)=sinwtt≥0t∞00t<0F(s)=∫sinwte-stdt=w/(s2+w2)四拉氏變換的幾個(gè)法則對(duì)于
3、一些簡(jiǎn)單原函數(shù)，可根據(jù)拉氏變換定義求象，但對(duì)于較復(fù)雜的原函數(shù)，必須用到下面幾個(gè)定理求取其象函數(shù)：1、線性定理若：￡[f1(t)]=F1(s)，￡[f2(t)]=F2(s)(a、b為常數(shù))則￡[af1(t)+bf2(t)]=aF1(s)+bF2(s)2、微分定理n-1若：￡[f(t)]=F(s)i=0則￡[d?f(t)/dt?]=s?F(s)-∑sn-i-1f(i)(0)式中f(i)(0)為f(t)及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0時(shí)的值若f(i)(0)=0（a=1，2，…n）則￡[d?f(t)/dt?]=s?F(s)1、積分定理若：￡[f(t)]=F
4、(s)，在零初始條件下：則￡[∫…∫f(t)dt?]=1/s?F(s)2、位移定理（延時(shí)定理）-sto若：￡[f(t)]=F(s)-αt則時(shí)域：￡[f(t-t0)1(t-t0)]=F(s)eS域：￡[f(t)e]=F(s+α)3、初值與終值定理若：￡[f(t)]=F(s)，且f(t)的拉氏變換存在，s→∞t→0則f(0)=limf(t)=limsF(s)s→0t→∞f(∞)=limf(t)=limsF(s)例：求階躍函數(shù)f(t)=A1(t)的象函數(shù)解：F(s)=￡[A1(t)]=A￡[1(t)]=A1/s例：求脈沖函數(shù)δ(t)的象函數(shù)解
5、：∵δ(t)=d1(t)/dt∴應(yīng)用微分定理（初零）得：F（s）=￡[d1(t)/dt]=sF(s)=s1/s=1-αt例：求f(t)=esinwt的拉氏變換-αt解：應(yīng)用位移定理，F(xiàn)（s）=￡[esinwt]=w/[(s+α)2+w2]-stσ+∞σ-∞五拉普拉斯反變換定義：若￡-1[F(s)]=f(t)=1/（2πj）∫F(s)edt，則稱上式為F(s)的拉氏反變換。由于上式中復(fù)變函數(shù)積分一般很難計(jì)算，∴由F(s)求f(t)常用部分分式法。1、求拉氏反變換的思路與步驟①將F(s)分解成簡(jiǎn)單的有理分式函數(shù)之和②確定待定系數(shù)s→si若F
6、(s)分母無重根,則系數(shù)Ci=lim(s-si)F(s)s→si若F(s)分母有重根,則系數(shù)Cm=lim(s-si)mF(s)s→siCm-1=lim(d/ds)[(s-si)mF(s)]s→siCm-j=lim1/j!dj/dsj[(s-si)mF(s)]………s→siC1=1/(m-1)!limdm-1/dsm-1[(s-si)mF(s)]③化簡(jiǎn)F(s)④由變換表求F(s)→f(t)s+2s2+4s+32、應(yīng)用舉例例：F(s)=C2s+3C1s+1s+2(s+1)(s+3)解：(1)F(s)==+s+2(s+1)(s+3)s→-1(
7、2)C1=lim(s+1)=1/2s+2(s+1)(s+3)s→-3C2=lim(s+3)=1/21s+13s+1(3)簡(jiǎn)化F(s)=1/2+1/2(4)查表：f(t)=1/2e-t+1/2e-3t=1/2(e-t+e-3t)s+2s(s+1)2(s+3)例：F(s)=，求拉氏反變換。C4s+3C3sC2s+1C1（s+1）2解：(1)F(s)=+++s+2s(s+1)2(s+3)s→-1(2)C1=lim(s+1)2=-1/2s+2s(s+1)2(s+3)s→-1C2=limd/ds[(s+1)2]=-3/4s→0C3=lim(s-0
8、)F(s)=2/31s+31s1s+11（s+1）2s→-3C4=lim(s+3)F(s)=1/12(3)F(s)=-1/2-3/4+2/3+1/12(4)查表得：f(t)=-1/2te-t-3/4e-t+
