一般線性電路的動態(tài)分析--拉氏變換法

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1、一般線性電路的動態(tài)分析--拉氏變換法9.1拉普拉斯變換一、應用拉普拉斯變換的理論背景對具有多個儲能元件的復雜電路動態(tài)分析，以前只能用求解微分方程的方法，十分困難。拉普拉斯變換和傅里葉變換都是一種積分變換。利用該變換，可以將電路的微分方程求解變成代數(shù)方程求解；可以將過渡過程的動態(tài)分析，變成純電阻電路的靜態(tài)分析，使分析過程大大簡化。所以拉普拉斯變換法是求解高階復雜動態(tài)電路的有效而重要的方法。二、拉普拉斯變換的定義1、拉普拉斯變換一個定義在[0，∞)區(qū)間的函數(shù)f(t)，它的拉普拉斯變換式F(s)定義為式

2、中s=δ+jω為復數(shù)，F(xiàn)(s)稱為f(t)的象函數(shù)，f(t)稱為F(s)的原函數(shù)。注意：積分的下限↘0-定義中拉氏變換的積分從t=0-開始，可以計及t=0-→0+時f(t)包含的沖激，從而給計算存在沖激函數(shù)電壓和電流的電路帶來方便。2、拉普拉斯反變換通常可以L[]符號表示對方括號里的時域函數(shù)作拉氏變換；用符號L-1[]表示對方括號里的復變函數(shù)作拉氏反變換。注意：拉普拉斯正變換、反變換必須一一對應！例：求以下函數(shù)的象函數(shù)：（1）單位階躍函數(shù)；（復習相關知識）（2）單位沖激函數(shù)；（復習相關知識）（3）

3、指數(shù)函數(shù)。解：（1）單位階躍函數(shù)f(t)=ε(t)（2）單位沖激函數(shù)；f(t)=δ(t)=e-s(0)=1（3）指數(shù)函數(shù)；f(t)=eata為實數(shù)例：RLC串聯(lián)電路，求電流i(t)=?++_u(t)i(t)S_uc(t)RL設電源電壓為u(t)，電感中初始電流為i(0-)，電容中初始電壓為uc(0-)。SR+_++_u(t)i(t)S_uc(t)RLU(s)+_uc(0-)/s1/sCsL+_Li(0-)運算電路圖I(s)SR+_U(s)+_uc(0-)/s1/sCsL+_Li(0-)整理后有I(

4、s)求出I(s)，再求其拉普拉斯反變換，得到i(t)9.2拉普拉斯變換的基本性質(zhì)一、線性性質(zhì)設f1(t)和f2(t)是兩個任意的時間函數(shù)，它們的象函數(shù)分別為F1(s)和F2(s)，A1和A2是兩個任意實常數(shù)，L[A1f1(t)+A2f2(t)]=A1F1(s)+A2F2(s)=A1L[f1(t)]+A2L[f2(t)]例：求以下函數(shù)的象函數(shù)：（1）f(t)=sin(ωt)（2）f(t)=K(1-e-at)解：（1）（2）f(t)=K(1-e-at)L[K(1-e-at)]=L[K]-L[e-at]

5、二、微分性質(zhì)函數(shù)f(t)的象函數(shù)與其導數(shù)f’(t)=df(t)/dt的象函數(shù)之間有如下關系若L[f(t)]=F(s)則L[f′(t)]=sF(s)-f(0-)例：利用導數(shù)性質(zhì)求以下函數(shù)的象函數(shù)：（1）f(t)=cos(ωt)（2）f(t)=δ(t)解：（1）s-0（2）由于δ(t)=dε(t)/dt=1f(t)=δ(t)=s-0在RLC例子中應用！三、積分性質(zhì)函數(shù)f(t)的象函數(shù)與其積分若L[f(t)]=F(s)則的象函數(shù)之間有如下關系例：利用積分性質(zhì)求函數(shù)f(t)=t的象函數(shù)解：f(t)=tL[

6、f(t)]=在RLC例子中應用！四、延遲性質(zhì)函數(shù)f(t)的象函數(shù)與其延遲函數(shù)f(t-t0)的象函數(shù)之間有如下關系若L[f(t)]=F(s)則L[f(t-t0)]=Otf(t)T例：求f(t)的象函數(shù)解：f(t)==Aε(t)A-Aε(t-T)L[f(t)]=A/s-A/s·e-sTOtf’(t)Otf’’(t)f’(t)+f’’(t)五、位移性質(zhì)函數(shù)f(t)與eat乘積的象函數(shù)若L[f(t)]=F(s)則L[f(t)eat]=F(s-a)結論：由此可見，根據(jù)拉氏變換的性質(zhì)，可以簡化常用函數(shù)的拉普拉

7、斯變換。常用函數(shù)的拉氏變換及反變換對應表原函數(shù)f(t)象函數(shù)F(s)Aδ(t)Aε(t)Ae-at1-e-atsin(ωt)AA/se-atsin(ωt)常用函數(shù)的拉氏變換及反變換對應表原函數(shù)f(t)象函數(shù)F(s)e-atcos(ωt)te-attcos(ωt)常用函數(shù)的拉氏變換表見教材。9.3拉普拉斯反變換一、部分分式展開法電路響應的象函數(shù)通?？杀硎緸閮蓚€實系數(shù)的s的多項式之比，即s的一個有理分式式中m和n為正整數(shù)，且n≥m。分解定理：把F(s)分解成若干簡單項之和，而這些簡單項可以在拉氏變換表

8、中找到再相加，這種方法稱為部分分式展開法，或稱為分解定理。具體步驟：1）用部分分式展開有理分式F(s)時，需要把有理分式化為真分式。(一般n＞m，已為真分式，這步不必。)若n=m，則2)用部分分式展開真分式時，需要對分母多項式作因式分解，先求出D(s)=0的根，D(s)=0的根可以是三種情況：單根共軛復根重根二、D(s)=0具有單根的情況如果D(s)=0有n個單根，設n個單根分別是p1、p2、…、pn。于是F(s)可以展開為Ki=[(s-pi)F(s)]s=pi待定系數(shù)的另一個公式