算術(shù)漫談算術(shù)漫談

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1、算術(shù)漫談算術(shù)漫談　　【摘要】以異因合數(shù)為分母的真分數(shù)，化為循環(huán)小數(shù)，循環(huán)節(jié)的位數(shù)為其中各因數(shù)循環(huán)節(jié)位數(shù)的最小公倍數(shù).以n位全1數(shù)為分母的真分數(shù)，化為循環(huán)小數(shù)j=n；若為合數(shù)，則n是各因數(shù)循環(huán)節(jié)位數(shù)的最小公倍數(shù).《n》中至少有一個或多個質(zhì)數(shù)j=n.欲求j=10（位）的質(zhì)數(shù)，就去分解《10》.　　【關(guān)鍵詞】全9數(shù)；全1數(shù)；剩余數(shù)　　一道算題，重視它的答案正確與否，永遠沒錯，但如果對它的渾身上下細致加以剖析，將會發(fā)現(xiàn)它和其他數(shù)學問題有著千絲萬縷的聯(lián)系，從中可以豐富我們的數(shù)學知識.活題就從17化為小數(shù)開始吧：17≈0.1429（四舍五

2、入）.17=0.1?42857?（化為純循環(huán)小數(shù)），或1÷7=0.142857……0.000001（有余數(shù)除法），7除盡了1-0.000001=0.999999.0.999999×1000000=999999，999999÷7=142857，7是質(zhì)數(shù)，循環(huán)節(jié)是六位，為偶數(shù)位循環(huán)，7能整除6位全9數(shù)，（為敘述方便，下面特稱各位都是9的數(shù)為n位全9數(shù)，大于1位各位都是1的數(shù)為n位全1數(shù).為書寫方便，特引入記號《n》，表示n位全1數(shù)，設(shè)j代表循環(huán)節(jié)位數(shù)5個字；n表示循環(huán)節(jié)位數(shù)，即j=n，【某數(shù)的循環(huán)節(jié)】是指以某數(shù)為分母的真分數(shù)、化為

3、循環(huán)小數(shù)、循環(huán)節(jié)的位數(shù)的簡語.以下同）從而可以導出凡6位數(shù)碼相同的數(shù)，均能被7整除.三組兩位兩位數(shù)碼相同的數(shù)，如：111111÷11×36=363636，以及前三位與后三位數(shù)碼相同的數(shù)，如：111111÷111×4437=437437，也均能被7整除.113=0.0?76923?，j=6，所以上述各數(shù)也均能被13整除.　　141=0.0?2439?.j=5，是奇位循環(huán)，99999÷41=2439.41能整除5位全9數(shù)，也能整除5位數(shù)碼都相同的數(shù).　　設(shè)p為除2，5以外的所有質(zhì)數(shù).設(shè)1p化為循環(huán)小數(shù)j=n，則n位全9數(shù)，n位全1

4、數(shù)等均能被p整除.當n為偶數(shù)時，前n2位與后n2位完全相同的數(shù)也均能被p整除.這些能被p整除的數(shù)，都可以為我們所用，如：判斷33743能否被41整除？因141=0.0?2439?，j=5，33333能被41整除.33743-33333=410，410能被41整除，?33743也能被41整除.再如：123448能否被13整除？因113=0.0?76923?，j=6，為偶數(shù)位循環(huán)，所以123448-123123=448-123=325，325÷13=25，123448能被13整除.　　17=0.1?42857?，27=0.2?85

5、714?=0.1?42857?×2，37=0.4?28571?=1?42857?×3……　　999999不僅能被7和13整除，它還能被9和142857整除，觀察這些數(shù)字的關(guān)系，可悟出循環(huán)小數(shù)化為分數(shù)的方法，142857÷142857999999÷142857=17，285714÷142857999999÷142857=27，428571÷142857999999÷142857=37……或：999999÷7=142857，142857999999=17.方法是：循環(huán)小數(shù)的數(shù)值為分子，循環(huán)小數(shù)是幾位，再以幾位全9數(shù)為分母，然后化簡

6、.將0.27化為分數(shù)，2799=311.　　上面悟出了純循環(huán)小數(shù)化為分數(shù)的方法，下面還可以從144=0.0227悟出混循環(huán)小數(shù)化為分數(shù)的方法：1÷44=0.0227……0.0012，44除盡了1-0.0012=0.9988，9988÷444=227.再看，0.022?7?，兩位不循環(huán)，兩位循環(huán)，而9900能保證被44整除（44=11×4，判斷某數(shù)能否被4整除，只要末兩位能被4整除，該數(shù)就能被4整除.判斷某數(shù)能否被11整除，由低位到高位兩位兩位分節(jié)，各節(jié)之和能被11整除，該數(shù)就能被11整除），9900÷44=225，227-22

7、5=2，但9988-9900=88，88÷44=2，227-225=2，所以227-29900=2259900=144.　　混循環(huán)小數(shù)化為分數(shù)的方法是：分子為混循環(huán)小數(shù)的數(shù)值，減去不循環(huán)部分的數(shù)值.分母為循環(huán)部分是幾位就先寫幾個9，不循環(huán)部分是幾位再在9的后面寫幾個0，然后化簡.　　附課本上的推導方法：（各介紹兩種推導方法）　　一、由0.0?27?推導純循環(huán)小數(shù)化分數(shù)的方法設(shè)分數(shù)為1x，1x=0.0?27?，1x=0.027……11000，1=0.027x+11000，1-0.001=0.999，x=0.9990.027，將x

8、值代入所設(shè)分數(shù)，10.9990.027=0.0270.999=27999=137.　　二、由13=0.3?推導純循環(huán)小數(shù)化分數(shù)的方法　　13=0.3?，13=0.33333……，0.33333……=310+3100+31000……　　整十整百相乘，在1的后面寫上因數(shù)0的和數(shù)就