幾何變換在解題中的作用

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1、幾何變換在解題中的作用　　摘要：本文在分析作為傳統(tǒng)幾何教材的歐氏幾何的成功之處和其存在的弊端的基礎(chǔ)上，分析比較幾何變換與歐氏幾何，得出幾何變換的思想方法在時代的不斷發(fā)展中較歐氏幾何更適合于中學(xué)的數(shù)學(xué)教材，并重點闡述了幾何變換在解題中的作用。　　關(guān)鍵詞：歐氏幾何；幾何變換；解題　　中圖分類號：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B文章編號：1672-1578（2013）06-0292-02　　1.引言　　數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的一門學(xué)科。中學(xué)階段學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的就在于學(xué)習(xí)這門學(xué)科的一些基礎(chǔ)知識，提高數(shù)學(xué)能力。幾何現(xiàn)實世界的空間形式和關(guān)系是它的研究對象之一，而今幾何已經(jīng)是一門豐富多彩蓬勃

2、發(fā)展的學(xué)科。中學(xué)階段學(xué)習(xí)幾何的基本任務(wù)是在于打好這門學(xué)科的基礎(chǔ)和培養(yǎng)有關(guān)的能力不能一下子就要求教學(xué)內(nèi)容具有邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性，以公理化的幾何來要求學(xué)生，又要考慮到現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展，教學(xué)內(nèi)容必須要更新，使它有利于學(xué)生掌握幾何的基礎(chǔ)知識和基本技能，有利于學(xué)生能力的發(fā)展。9　　但是，作為教學(xué)科目的幾何，與作為科學(xué)的幾何學(xué)在要求上是有所不同的。作為教學(xué)科目的幾何，必須考慮到通過這門課程的教學(xué)，全面地達(dá)到學(xué)習(xí)這門課程應(yīng)有的教育目的，同時，還要考慮到學(xué)生學(xué)習(xí)這門課程的實際接受能力。　　傳統(tǒng)的幾何教材都是以歐氏幾何為主要內(nèi)容的，但隨著時代的不斷發(fā)展，其存在的弊端越來越明顯，顯然已不適宜現(xiàn)代數(shù)學(xué)的教學(xué).

3、而幾何變換也具有一個系統(tǒng)的理論方法，不僅克服了歐氏幾何的種種不足之處，保留了歐氏幾何訓(xùn)練思維能力的長處，并且將運(yùn)動的觀點滲透到教學(xué)中，這更有利于學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)觀。　　2.幾何變換的教育價值　　學(xué)習(xí)幾何對于邏輯思維能力，尤其是直覺思維能力的培養(yǎng)具有不可低估的作用，也是其他學(xué)科難以取代的，但不能視幾何為培養(yǎng)邏輯思維能力的唯一"工具"。在不削弱幾何基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)的同時構(gòu)造一個簡明易學(xué)的與現(xiàn)代幾何結(jié)構(gòu)相接近的新體系來代替歐氏幾何顯得非常必要。讓情景問題屬于支配地位，重視發(fā)現(xiàn)和，哦性，學(xué)生親自參加課程的大部分內(nèi)容，包括觀察、投影、位置方向、變換構(gòu)造、測量計算等。這不僅使學(xué)生切實掌握現(xiàn)代社會中

4、的每一個公民適應(yīng)日常生活、參加生產(chǎn)和進(jìn)一步學(xué)習(xí)所必須的幾何的基礎(chǔ)知識和技能，包括直觀的空間圖形的初步知識，發(fā)展邏輯思維能力和空間觀念，而且能運(yùn)用所學(xué)知識解決簡單的實際問題，不斷發(fā)掘和運(yùn)用自己的能力，不斷最求進(jìn)一步的發(fā)展?！　?.幾何變換的教學(xué)符合學(xué)生的認(rèn)知特點9　　通過變換幾何能夠更好處理歐氏幾何的理論基礎(chǔ)。"活動"是保證更有效的手段，而大量的活動如反射、平移和旋轉(zhuǎn)，使學(xué)生借助眼睛、手等各種器官來接觸空間形狀，也符合于教育家夸美紐斯的觀點--打開學(xué)生的各種感覺器官，更有利于發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造，通過幾何活動掌握空間，那么幾何句將緊密聯(lián)系兒童日常生活環(huán)境里所面臨的現(xiàn)實，也許沒有任何其他一種類型的經(jīng)

5、驗?zāi)鼙蕊@示的幾何教育更能形成一種數(shù)學(xué)態(tài)度?！　√幱谝粋€幾何世界的學(xué)生每時每刻都被幾何的現(xiàn)象所包圍，虛偽上對幾何的直覺和接受能力在兒童時代就已經(jīng)開始。在學(xué)前兒童幾何形體的教學(xué)中，歐氏幾何灌輸給學(xué)前兒童的往往是"長度"，"直線"，"線段"，"三角形"，"正方形"等觀念，仿佛這些就是空間的真正元素，但對于兒童的認(rèn)識來說并非如此。兒童能夠觀察到一個"正方形"，然而不能將正方形轉(zhuǎn)化為"心理表象"。他們對幾何圖形邊界的知覺所涉及的數(shù)學(xué)是拓?fù)涞年P(guān)系而不是歐氏幾何的關(guān)系。　　從小學(xué)開始，學(xué)生就在圖形探索中不再滿足于簡單地抓握物體或感知物體，而是去主動探索，有了可逆性動作，又能夠使動作返回到原來的起點，

6、從某一參照點開始，再返回到該點，以協(xié)調(diào)整個圖形。這樣就能很好地再認(rèn)圖形。如正確劃出"+"字，順六邊形的邊沿前進(jìn)，返回到始點，能從本質(zhì)上區(qū)分幾何圖形?！　≡跉W氏幾何教學(xué)中，是讓兒童單純依靠知覺，看看形狀，并告訴其名稱來學(xué)習(xí)形狀觀念。而用幾何變換教學(xué)可以讓學(xué)生從物體上來探索這個圖形，擺弄它用手撫摸輪廓，通過動作來構(gòu)造圖形。通過手指沿物體的輪廓從空間移動時的動作協(xié)調(diào)抽象出形狀觀念更符合學(xué)生的認(rèn)知特點。9　　皮亞杰認(rèn)為用動作性活動比如觸摸，擺弄紙板或木頭做成的模型，探索各種物體的形狀可以測定其對幾何形的認(rèn)知能力，對培養(yǎng)其空間想象能力是非常有效的。通過擺弄，畫出物體或圖形以觀察表征圖形，等于"抽

7、象和理解"，即給物體從物理動作以形成心理結(jié)構(gòu)，符合數(shù)學(xué)教育的心理學(xué)結(jié)構(gòu)。視覺上的現(xiàn)象化描述是特別容易為許多小學(xué)接受的，特別涉及軌跡、變換和向量幾何的動態(tài)方面?！　?.幾何變換中有一整套簡潔統(tǒng)一的方法巧妙解題　　在歐氏集合中，有相當(dāng)大一部分內(nèi)容和習(xí)題沒有直觀的，簡潔的方法，需要技術(shù)性要求高，采用一系列奇招怪招解題，無疑給中學(xué)生學(xué)習(xí)幾何知識加大了解題，增加了不必要的負(fù)擔(dān).而利用幾何變換是，可以把一部分知識或習(xí)題進(jìn)行歸類，采用統(tǒng)一的方法或思想。　　4