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《幾何變換法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用.doc》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、幾何變換法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用在數(shù)學(xué)問題的研究中,常常運用變換法,把復(fù)雜性問題轉(zhuǎn)化為簡單性的問題而得到解決。所謂變換是一個集合的任一元素到同一集合的元素的一個一一映射。中學(xué)數(shù)學(xué)中所涉及的變換主要是初等變換。有一些看來很難甚至于無法下手的習(xí)題,可以借助幾何變換法,化繁為簡,化難為易。另一方面,也可將變換的觀點滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中。將圖形從相等靜止條件下的研究和運動中的研究結(jié)合起來,有利于對圖形本質(zhì)的認(rèn)識。幾何變換包括:(1)平移;(2)旋轉(zhuǎn);(3)對稱。??例1、在矩形ABCD中，AB=2，AD=．（1）在邊CD上找一點E，使EB平分∠AEC，并
2、加以說明；（2）若P為BC邊上一點，且BP=2CP，連接EP并延長交AB的延長線于F．①求證：點B平分線段AF；②△PAE能否由△PFB繞P點按順時針方向旋轉(zhuǎn)而得到，若能，加以證明，并求出旋轉(zhuǎn)度數(shù)；若不能，請說明理由．答案：（1）當(dāng)E為CD中點時，EB平分∠AEC。由∠D=90°，DE=1，AD=，推得∠DEA=60°，同理，∠CEB=60°，從而∠AEB=∠CEB=60°，即EB平分∠AEC。（2）①∵CE∥BF，∴==∴BF=2CE?！逜B=2CE，∴點B平分線段AF②能。證明：∵CP=，CE=1，∠C=90°，∴EP=。在Rt△ADE中，A
3、E==2，∴AE=BF，又∵PB=，∴PB=PE∵∠AEP=∠BP=90°，∴△PAS≌△PFB。∴△PAE可以△PFB按照順時針方向繞P點旋轉(zhuǎn)而得到。旋轉(zhuǎn)度數(shù)為120°?！窘馕觥勘绢}綜合考查學(xué)生三角形相似及全等、矩形性質(zhì)、勾股定理、旋轉(zhuǎn)等等幾何知識的應(yīng)用。（1）發(fā)散思維的考查，讓學(xué)生自己找滿足條件的點，并說明理由。題目中給出AB=2，AD=，發(fā)現(xiàn)滿足條件的點為AB的中點；利用三角函數(shù)的知識，及平角為180度，很容易得到結(jié)論。（2）①應(yīng)用相似三角形的知識得BF=2CE，且AB=2CE，所以點B平分線段AF。（3）問：△PAE能否由△PFB繞P點按
4、順時針方向旋轉(zhuǎn)而得到，即證明：△PAE和△PFB是否全等。平移在幾何中的運用例2、如圖，方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位的正方形．Rt△ABC的頂點均在格點上，建立平面直角坐標(biāo)系后，點A的坐標(biāo)為（﹣4，1），點B的坐標(biāo)為（﹣1，1）．（1）先將Rt△ABC向右平移5個單位，再向下平移1個單位后得到Rt△A1B1C1．試在圖中畫出圖形Rt△A1B1C1，并寫出A1的坐標(biāo)；（2）將Rt△A1B1C1繞點A1順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到Rt△A2B2C2，試在圖中畫出圖形Rt△A2B2C2．并計算Rt△A1B1C1在上述旋轉(zhuǎn)過程中C1所經(jīng)過的路程．考點
5、：作圖-旋轉(zhuǎn)變換；弧長的計算；作圖-平移變換。專題：作圖題。分析：（1）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點A．B．C平移后的對應(yīng)點A1、B1、C1的位置，然后順次連接即可，再根據(jù)平面直角坐標(biāo)系寫出點A1的坐標(biāo)即可；（2）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點A1、B1、C1繞點A1順時針旋轉(zhuǎn)90°后的對應(yīng)點A2、B2、C2的位置，然后順次連接即可，再根據(jù)勾股定理求出A1C1的長度，然后根據(jù)弧長公式列式計算即可得解．解答：解：（1）如圖所示，△A1B1C1即為所求作的三角形，點A1的坐標(biāo)為（1，0）；（2）如圖所示，△A2B2C2即為所求作的三角形，根據(jù)勾股定理，A1C1==，所以，
6、旋轉(zhuǎn)過程中C1所經(jīng)過的路程為=π．點評：本題考查了利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，利用平移變換作圖，弧長的計算公式，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)并準(zhǔn)確找出對應(yīng)點的位置是解題的關(guān)鍵．對稱在幾何中的運用例3.（2012?德州）如圖所示，現(xiàn)有一張邊長為4的正方形紙片ABCD，點P為正方形AD邊上的一點（不與點A、點D重合）將正方形紙片折疊，使點B落在P處，點C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP、BH．（1）求證：∠APB=∠BPH；（2）當(dāng)點P在邊AD上移動時，△PDH的周長是否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論；（3）設(shè)AP為x，四邊形EFGP的面積為S，求出S與x的函數(shù)關(guān)
7、系式，試問S是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．考點：翻折變換（折疊問題）；二次函數(shù)的最值；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)。分析：（1）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得出∠PBC=∠BPH，進而利用平行線的性質(zhì)得出∠APB=∠PBC即可得出答案；（2）首先證明△ABP≌△QBP，進而得出△BCH≌△BQH，即可得出PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8；（3）利用已知得出△EFM≌△BPA，進而利用在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2，利用二次函數(shù)的最值求出即可．解答：（1）解：如圖1，∵PE=BE
8、，∴∠EBP=∠EPB．又∵∠EPH=∠EBC=90°，∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP．即∠PBC=∠BPH．又∵AD∥BC，
