幾何變換法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用.doc

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1、幾何變換法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用在數(shù)學(xué)問(wèn)題的研究中,常常運(yùn)用變換法,把復(fù)雜性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單性的問(wèn)題而得到解決。所謂變換是一個(gè)集合的任一元素到同一集合的元素的一個(gè)一一映射。中學(xué)數(shù)學(xué)中所涉及的變換主要是初等變換。有一些看來(lái)很難甚至于無(wú)法下手的習(xí)題,可以借助幾何變換法,化繁為簡(jiǎn),化難為易。另一方面,也可將變換的觀點(diǎn)滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中。將圖形從相等靜止條件下的研究和運(yùn)動(dòng)中的研究結(jié)合起來(lái),有利于對(duì)圖形本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。幾何變換包括:(1)平移;(2)旋轉(zhuǎn);(3)對(duì)稱。??例1、在矩形ABCD中，AB=2，AD=．（1）在邊CD上找一點(diǎn)E，使EB平分∠AEC，并

2、加以說(shuō)明；（2）若P為BC邊上一點(diǎn)，且BP=2CP，連接EP并延長(zhǎng)交AB的延長(zhǎng)線于F．①求證：點(diǎn)B平分線段AF；②△PAE能否由△PFB繞P點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)而得到，若能，加以證明，并求出旋轉(zhuǎn)度數(shù)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．答案：（1）當(dāng)E為CD中點(diǎn)時(shí)，EB平分∠AEC。由∠D=90°，DE=1，AD=，推得∠DEA=60°，同理，∠CEB=60°，從而∠AEB=∠CEB=60°，即EB平分∠AEC。（2）①∵CE∥BF，∴==∴BF=2CE。∵AB=2CE，∴點(diǎn)B平分線段AF②能。證明：∵CP=，CE=1，∠C=90°，∴EP=。在Rt△ADE中，A

3、E==2，∴AE=BF，又∵PB=，∴PB=PE∵∠AEP=∠BP=90°，∴△PAS≌△PFB?！唷鱌AE可以△PFB按照順時(shí)針?lè)较蚶@P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而得到。旋轉(zhuǎn)度數(shù)為120°。【解析】本題綜合考查學(xué)生三角形相似及全等、矩形性質(zhì)、勾股定理、旋轉(zhuǎn)等等幾何知識(shí)的應(yīng)用。（1）發(fā)散思維的考查，讓學(xué)生自己找滿足條件的點(diǎn)，并說(shuō)明理由。題目中給出AB=2，AD=，發(fā)現(xiàn)滿足條件的點(diǎn)為AB的中點(diǎn)；利用三角函數(shù)的知識(shí)，及平角為180度，很容易得到結(jié)論。（2）①應(yīng)用相似三角形的知識(shí)得BF=2CE，且AB=2CE，所以點(diǎn)B平分線段AF。（3）問(wèn)：△PAE能否由△PFB繞P點(diǎn)按

4、順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)而得到，即證明：△PAE和△PFB是否全等。平移在幾何中的運(yùn)用例2、如圖，方格紙中的每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的正方形．Rt△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，建立平面直角坐標(biāo)系后，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣4，1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣1，1）．（1）先將Rt△ABC向右平移5個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位后得到Rt△A1B1C1．試在圖中畫出圖形Rt△A1B1C1，并寫出A1的坐標(biāo)；（2）將Rt△A1B1C1繞點(diǎn)A1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到Rt△A2B2C2，試在圖中畫出圖形Rt△A2B2C2．并計(jì)算Rt△A1B1C1在上述旋轉(zhuǎn)過(guò)程中C1所經(jīng)過(guò)的路程．考點(diǎn)

5、：作圖-旋轉(zhuǎn)變換；弧長(zhǎng)的計(jì)算；作圖-平移變換。專題：作圖題。分析：（1）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點(diǎn)A．B．C平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1、B1、C1的位置，然后順次連接即可，再根據(jù)平面直角坐標(biāo)系寫出點(diǎn)A1的坐標(biāo)即可；（2）根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點(diǎn)A1、B1、C1繞點(diǎn)A1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A2、B2、C2的位置，然后順次連接即可，再根據(jù)勾股定理求出A1C1的長(zhǎng)度，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式列式計(jì)算即可得解．解答：解：（1）如圖所示，△A1B1C1即為所求作的三角形，點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（1，0）；（2）如圖所示，△A2B2C2即為所求作的三角形，根據(jù)勾股定理，A1C1==，所以，

6、旋轉(zhuǎn)過(guò)程中C1所經(jīng)過(guò)的路程為=π．點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，利用平移變換作圖，弧長(zhǎng)的計(jì)算公式，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)并準(zhǔn)確找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．對(duì)稱在幾何中的運(yùn)用例3.（2012?德州）如圖所示，現(xiàn)有一張邊長(zhǎng)為4的正方形紙片ABCD，點(diǎn)P為正方形AD邊上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、點(diǎn)D重合）將正方形紙片折疊，使點(diǎn)B落在P處，點(diǎn)C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP、BH．（1）求證：∠APB=∠BPH；（2）當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上移動(dòng)時(shí)，△PDH的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論；（3）設(shè)AP為x，四邊形EFGP的面積為S，求出S與x的函數(shù)關(guān)

7、系式，試問(wèn)S是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．考點(diǎn)：翻折變換（折疊問(wèn)題）；二次函數(shù)的最值；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)。分析：（1）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得出∠PBC=∠BPH，進(jìn)而利用平行線的性質(zhì)得出∠APB=∠PBC即可得出答案；（2）首先證明△ABP≌△QBP，進(jìn)而得出△BCH≌△BQH，即可得出PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8；（3）利用已知得出△EFM≌△BPA，進(jìn)而利用在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2，利用二次函數(shù)的最值求出即可．解答：（1）解：如圖1，∵PE=BE

8、，∴∠EBP=∠EPB．又∵∠EPH=∠EBC=90°，∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP．即∠PBC=∠BPH．又∵AD∥BC，