基于排隊(duì)論的生產(chǎn)系統(tǒng)分析

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1、2010年?yáng)|北大學(xué)數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)模擬競(jìng)賽參賽隊(duì)：學(xué)號(hào)姓名班級(jí)選擇題目：A√B東北大學(xué)大學(xué)生創(chuàng)新中心基于排隊(duì)論的生產(chǎn)系統(tǒng)分析一、摘要本文為B題的生產(chǎn)系統(tǒng)的優(yōu)化問(wèn)題做出了自己的解釋?zhuān)ㄟ^(guò)排隊(duì)論和蒙特卡洛方法解決了生產(chǎn)系統(tǒng)的效率問(wèn)題，通過(guò)對(duì)工具到達(dá)時(shí)間和服務(wù)時(shí)間的計(jì)算機(jī)擬合，將基本模型確定在排隊(duì)模型，通過(guò)對(duì)此基本模型的分析和改進(jìn)，得出了前三問(wèn)。最后一問(wèn)在概率論相關(guān)理論的基礎(chǔ)之上使用計(jì)算機(jī)模擬仿真（蒙特卡洛法）對(duì)生產(chǎn)系統(tǒng)的整個(gè)運(yùn)行過(guò)程進(jìn)行模擬，得出最后的結(jié)論。關(guān)鍵詞：排隊(duì)理論、生產(chǎn)系統(tǒng)、蒙特卡洛方法二、問(wèn)題的提出在科學(xué)技術(shù)突飛猛進(jìn)的今天，人類(lèi)的生產(chǎn)力有了很大程度的提高，目前的系統(tǒng)分析已經(jīng)不

2、僅僅局限于單純產(chǎn)量的提高，整個(gè)系統(tǒng)資源的利用和效率的高低成為衡量生產(chǎn)抑或服務(wù)系統(tǒng)的重要指標(biāo)，而我們的制造業(yè)和服務(wù)業(yè)種系統(tǒng)的效率問(wèn)題正在成為人們的焦點(diǎn)。本題目正是從實(shí)際的生產(chǎn)系統(tǒng)中抽象出來(lái)的一個(gè)子系統(tǒng)，原題給出了在只有一臺(tái)工具維修設(shè)備的前提下，20名工人的實(shí)際操作結(jié)果。維護(hù)生產(chǎn)正常進(jìn)行的各項(xiàng)費(fèi)用已知，題目要求我們對(duì)已有問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型并改進(jìn)：(1)建立數(shù)學(xué)模型分析該車(chē)間是否應(yīng)該另外添置一臺(tái)打磨機(jī)？(2)現(xiàn)在車(chē)間要求達(dá)到平均兩個(gè)小時(shí)內(nèi)只有一人在等候打磨，利用所建模型分析此要求是否可行，車(chē)間需要支出費(fèi)用多少？(3)車(chē)間為了確保整個(gè)生產(chǎn)安全有序地進(jìn)行，就要讓在打磨間的人數(shù)盡量少于2人，利

3、用所建模型分析此要求是否能夠?qū)崿F(xiàn)，車(chē)間需要支出費(fèi)用多少？(4)如果在16:00打磨機(jī)停止工作，多少工人可以提前多長(zhǎng)時(shí)間下班？現(xiàn)在該車(chē)間想調(diào)整作息時(shí)間為8:00-12:00，13:00-17:00，打磨機(jī)工作時(shí)間為8:00-17:00，模型應(yīng)該如何調(diào)整？三、條件假設(shè)（1）基于排隊(duì)系統(tǒng)的假設(shè)輸入過(guò)程：中顧客的總體是有限的，且到了的方式是一個(gè)一個(gè)的，工具相繼到達(dá)的間隔時(shí)間是隨機(jī)性的，但是服從一定條件的概率分布；工具的到達(dá)也是相互獨(dú)立的，就是說(shuō)，以前的到達(dá)情況對(duì)以后工件的到來(lái)沒(méi)有影響；輸入過(guò)程是平穩(wěn)的，也可以認(rèn)為是時(shí)間齊次的，是指描述相繼到達(dá)的時(shí)間間隔分布和所含參數(shù)（如期望值、方差等）都

4、是與時(shí)間無(wú)關(guān)的。排隊(duì)規(guī)則：根據(jù)題目的已知數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，工件到達(dá)時(shí)，如所有的服務(wù)臺(tái)均被占用著，則工具將會(huì)等待，服務(wù)機(jī)制屬于先到先服務(wù)；從占有的空間上來(lái)看，對(duì)于等待隊(duì)伍的長(zhǎng)度沒(méi)有最大限制；從等待隊(duì)伍的數(shù)量上來(lái)看，隊(duì)伍是單列的。服務(wù)機(jī)構(gòu)：帶有多個(gè)服務(wù)臺(tái)的機(jī)構(gòu)中，它們應(yīng)該是平行并列的（如第一問(wèn)）服務(wù)的方式為每次一臺(tái)機(jī)器對(duì)一個(gè)工具進(jìn)行加工；跟本題的輸入過(guò)程一樣，服務(wù)時(shí)間也是隨機(jī)性的，但是服從一定條件的概率分布，并且服務(wù)時(shí)間也是時(shí)間齊次性的。（2）對(duì)于到達(dá)時(shí)刻的假設(shè)對(duì)于工具到達(dá)時(shí)間：1、根據(jù)排隊(duì)論和概率論的相關(guān)理論，我們易知在不相重疊的時(shí)間間隔內(nèi)工具到達(dá)數(shù)是相互獨(dú)立的，即為無(wú)后效性，2、在充

5、分小的一段時(shí)間間隔之內(nèi)，在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)顧客到達(dá)的概率與時(shí)間無(wú)關(guān)，而約與時(shí)間長(zhǎng)度成正比，即其中是常數(shù)，它表示單位時(shí)間有一個(gè)顧客到達(dá)的概率，稱(chēng)為概率強(qiáng)度。3、另一方面，對(duì)于充分小的，在時(shí)間間隔內(nèi)有兩個(gè)或兩個(gè)以上顧客到達(dá)的概率極小，以至于可以忽略，即（1）泊松分布的概率如下所示，意為在t的時(shí)間間隔中到達(dá)n個(gè)顧客的概率滿足以上三個(gè)條件的分布被稱(chēng)作泊松流，我們得知該題目的工具到達(dá)時(shí)間服從泊松分布。通過(guò)計(jì)算機(jī)的相關(guān)假設(shè)檢驗(yàn)，在0.05的置信度基礎(chǔ)之上，可以認(rèn)為工件的到達(dá)時(shí)間服從該分布。四、符號(hào)約定Kendall記號(hào)X表示相繼到達(dá)間隔時(shí)間的分布，Y表示服務(wù)時(shí)間的分布，Z表示并列的服務(wù)臺(tái)的數(shù)目。

6、A系統(tǒng)容量限制，B為顧客源數(shù)目，C為填寫(xiě)的服務(wù)規(guī)則，例如先到先服務(wù)（）。隊(duì)長(zhǎng)，指在系統(tǒng)中的顧客數(shù)指在系統(tǒng)中排隊(duì)等待服務(wù)的顧客數(shù)指一個(gè)顧客在系統(tǒng)中的停留時(shí)間，期望值一個(gè)顧客在系統(tǒng)中排隊(duì)等待的時(shí)間，期望值項(xiàng)目總花費(fèi)服務(wù)設(shè)備總投資平均到達(dá)率服務(wù)機(jī)構(gòu)單位時(shí)間的費(fèi)用，為常數(shù)6.67顧客在系統(tǒng)停留單位時(shí)間的費(fèi)用，為常數(shù)10五、問(wèn)題分析1.名詞解釋排隊(duì)論：排隊(duì)論(QueuingTheory)，是研究系統(tǒng)隨機(jī)聚散現(xiàn)象和隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)工作過(guò)程的數(shù)學(xué)理論和方法，又稱(chēng)隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論，為運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)分支?！尽勘绢}研究的是生產(chǎn)系統(tǒng)的效率問(wèn)題，可以將磨損的工具認(rèn)為顧客，將打磨機(jī)當(dāng)做服務(wù)系統(tǒng)。：較為經(jīng)典的一種

7、排隊(duì)論模式，按照前面的Kendall記號(hào)定義，前面的M代表顧客(工具)到達(dá)時(shí)間服從泊松分布，后面的M則表示服務(wù)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，1為僅有一個(gè)打磨機(jī)。蒙特卡洛方法：蒙特卡洛法蒙特卡洛(MonteCarlo)方法，或稱(chēng)計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬方法，是一種基于“隨機(jī)數(shù)”的計(jì)算方法。這一方法源于美國(guó)在第一次世界大戰(zhàn)進(jìn)研制原子彈的“曼哈頓計(jì)劃”。該計(jì)劃的主持人之一、數(shù)學(xué)家馮·諾伊曼用馳名世界的賭城—摩納哥的MonteCarlo—來(lái)命名這種方法，為它蒙上了一層神秘色彩。（2）在本題的第四問(wèn)中，我們采