全國(guó)各地中考數(shù)學(xué)壓軸題賞析

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1、2007年全國(guó)各地中考數(shù)學(xué)壓軸題賞析浦東教育發(fā)展研究院楊正家2007年全國(guó)各地中考數(shù)學(xué)試題壓軸題多姿多彩，經(jīng)學(xué)習(xí)、研究后有不少體會(huì)。這些成功試題值得大家進(jìn)行深入分析，細(xì)細(xì)品味。本人從中選取一部分加以分析，供教學(xué)、命題和研究參考。希望從考試試題的研究出發(fā)，在研究、討論中我們共同獲得對(duì)數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教學(xué)的啟發(fā)，進(jìn)而提高對(duì)數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教學(xué)的認(rèn)識(shí)。ABCDOExy試題1（湖北省十堰市）已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，以AB的垂直平分線為x軸，AB所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系(如圖)。(1)寫(xiě)出A、B、C、D及AD的中點(diǎn)E

2、的坐標(biāo)；(2)求以E為頂點(diǎn)、對(duì)稱軸平行于y軸，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C的拋物線的解析式；(3)求對(duì)角線BD與上述拋物線除點(diǎn)B以外的另一交點(diǎn)P的坐標(biāo)；(4)△PEB的面積S△PEB與△PBC的面積S△PBC具有怎樣的關(guān)系？證明你的結(jié)論。略解：（1）所求各點(diǎn)坐標(biāo)為A（0，1），B（0，-1），C（4，-1），D（4，1），E（2，1）。（2）設(shè)拋物線的解析式為，由于拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(0,-1)，可求得，所以拋物線的解析式為，經(jīng)驗(yàn)證，該拋物線過(guò)C。（3）直線BD的解析式為，與拋物線解析式聯(lián)列，解得點(diǎn)P坐標(biāo)為。（4）。賞與析：第（2）小題看

3、起來(lái)有多余條件，但實(shí)際上正好考查學(xué)生解題中的自檢能力，如果學(xué)生用頂點(diǎn)式求拋物線解析式，根據(jù)點(diǎn)B坐標(biāo)求出解析式后須檢查C在拋物線上。如果學(xué)生運(yùn)用一般式求解，根據(jù)E、B、C的坐標(biāo)求出解析式后，須檢驗(yàn)E是頂點(diǎn)。這一自檢步驟不可忽略，也不可默認(rèn)。試題2（泰安市，非課改）如圖，在中，，是邊上的高，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與重合），，，垂足分別為。（1）求證：；（2）與是否垂直？若垂直，請(qǐng)給出證明；若不垂直，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）當(dāng)時(shí)，為等腰直角三角形嗎？并說(shuō)明理由。略解：（1）可證，。（2）與垂直。先證四邊形為矩形，，由（1）知，。為直角三

4、角形，，，，。又，，。（3）當(dāng)時(shí)，為等腰直角三角形。，，，由（2）知：，，。又，為等腰直角三角形。賞與析：（1）本題對(duì)幾何圖形的性質(zhì)作了比較有趣的研究，探究其中比較有意義的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系、形狀關(guān)系等，形成一類(lèi)探索性試題的特點(diǎn)。（2）試題較有整體感，小題設(shè)計(jì)之間、小題解法之間聯(lián)系均較_結(jié)束_輸出y_y與x的關(guān)系式_輸入x_開(kāi)始緊密，對(duì)于探究性問(wèn)題中研究主題不斷生成，環(huán)環(huán)相扣，又不斷解決有一種流暢感。試題3（安徽?。┌从覉D所示的流程，輸入一個(gè)數(shù)據(jù)x，根據(jù)y與x的關(guān)系式就輸出一個(gè)數(shù)據(jù)y，這樣可以將一組數(shù)據(jù)變換成另一組新的數(shù)據(jù)

5、，要使任意一組都在20～100（含20和100）之間的數(shù)據(jù)，變換成一組新數(shù)據(jù)后能滿足下列兩個(gè)要求：（Ⅰ）新數(shù)據(jù)都在60～100（含60和100）之間；（Ⅱ）新數(shù)據(jù)之間的大小關(guān)系與原數(shù)據(jù)之間的大小關(guān)系一致，即原數(shù)據(jù)大的對(duì)應(yīng)的新數(shù)據(jù)也較大。（1）若y與x的關(guān)系是y＝x＋p(100－x)，請(qǐng)說(shuō)明：當(dāng)p＝時(shí)，這種變換滿足上述兩個(gè)要求；（2）若按關(guān)系式y(tǒng)=a(x－h(huán))2＋k　(a>0)將數(shù)據(jù)進(jìn)行變換，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)滿足上述要求的這種關(guān)系式。（不要求對(duì)關(guān)系式符合題意作說(shuō)明，但要寫(xiě)出關(guān)系式得出的主要過(guò)程）略解：（1）當(dāng)P=時(shí)，y=x＋,即y

6、=?！鄖隨著x的增大而增大，即P=時(shí)，滿足條件（Ⅱ）。又當(dāng)x=20時(shí)，y==60，當(dāng)x=100時(shí)，y==100。而原數(shù)據(jù)都在20～100之間，所以新數(shù)據(jù)都在60～100之間，即滿足條件（Ⅰ），綜上可知，當(dāng)P=時(shí)，這種變換滿足要求；（2）本題是開(kāi)放性問(wèn)題，答案不唯一。若所給出的關(guān)系式滿足：（a）h≤20；（b）若x=20,100時(shí)，y的對(duì)應(yīng)值m，n能落在60～100之間，則這樣的關(guān)系式都符合要求。如：。賞與析：（1）用流程圖的方法敘述函數(shù)關(guān)系，比較生動(dòng)。同時(shí)這也是對(duì)函數(shù)的意義作了一個(gè)形象化的解釋。其實(shí)函數(shù)的表達(dá)有多種方法，用

7、解析式表示只是其中一種，而且不是所有函數(shù)都可以用解析式表示的。（2）通過(guò)隱含的方法對(duì)函數(shù)的幾個(gè)有意思的性質(zhì)，比如值域、單調(diào)性等進(jìn)行描述、探究，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)研究的方法。（3）問(wèn)題設(shè)計(jì)考慮到驗(yàn)證性證明和構(gòu)造性證明等，試題比較注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的考查。試題4(淮安市)在平面直角坐標(biāo)系中，放置一個(gè)如圖所示的直角三角形紙片AOB，已知OA=2，∠AOB=30°,D、E兩點(diǎn)同時(shí)從原點(diǎn)O出發(fā)，D點(diǎn)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸的正方向運(yùn)動(dòng)，E點(diǎn)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿y軸的正方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)D、E兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒。（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為，

8、點(diǎn)B的坐標(biāo)為。（2）在點(diǎn)D、E運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，直線DE與直線OA垂直嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由(3)當(dāng)t在什么范圍時(shí)，直線DE與線段OA有公共點(diǎn)？（4）將直角三角形紙片AOB在直線DE下方的部分沿直線DE向上折疊，設(shè)折疊后重疊部分的面積為s，請(qǐng)寫(xiě)出s與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出s的最大值。略解：（1）。（2）可求得，這時(shí)