04 勾股定理與應(yīng)用.doc

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1、勾股定理與應(yīng)用1．勾股定理：直角三角形中，斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和．2．勾股定理的逆定理：有一條邊的平方等于其他兩邊的平方和的三角形是直角三角形．勾股定理最早的文字記載見于歐幾里得（公元前三世紀(jì)）的《幾何原本》第一卷命題47，“直角三角形斜邊上的正方形面積等于兩直角邊上正方形面積之和”．勾股定理是數(shù)學(xué)史上一顆璀璨的明珠，在西方又稱畢達(dá)哥拉斯定理，它是歐幾里得幾何的重要定理之一，有的數(shù)學(xué)家形象地稱勾股定理為歐氏幾何的“拱心石”．?dāng)?shù)學(xué)大師陳省身先生說：“歐幾里得幾何的主要結(jié)論有兩個，一個是畢達(dá)哥拉斯定理，一個是三角形內(nèi)角之和等于1800．

2、”華羅庚教授曾建議把它送入其他星球，作為地球人與“外星人”交談的語言，以探索宇宙的奧妙．到目前為止，勾股定理已有300多種證法．勾股定理揭示了直角三角形的三邊之間的關(guān)系，對于線段的計(jì)算，?？捎晒垂啥ɡ砹蟹匠踢M(jìn)行求解；對于涉及平方關(guān)系的等式證明，可根據(jù)勾股定理進(jìn)行論證；對于已知三角形的三邊的長，要判斷其形狀，則可根據(jù)勾股定理的逆定理通過計(jì)算進(jìn)行判定．如果在問題的條件中發(fā)現(xiàn)與勾股定理極為類似的形式，就應(yīng)設(shè)法將所涉及的線段集中于一個直角三角形中，或者設(shè)法構(gòu)作出這個直角三角形，再進(jìn)行證明．我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽著《勾股圓方圖》全文530余字，在我國第一次

3、明確給出了勾股定理的理論證明，“案弦圖又可以勾股相乘為朱實(shí)二，倍之，為朱實(shí)四，以勾股之差自相乘為中黃實(shí)，加差實(shí)亦成弦實(shí)”．證明勾股定理的“弦圖”，其中“弦實(shí)”是弦平方的面積，“弦圖”以弦為邊作正方形（如正方形ABCD），然后在“弦圖”內(nèi)部作四個直角三角形（如△AHB，△BEC，△CDF，△DAG）．設(shè)a，b，c為四個直角三角形的勾、股、弦，則根據(jù)“出入相補(bǔ)原理”就有c2＝4×ab＋（b－a）2　　c2＝2ab＋b2－2ab＋a2，c2＝a2＋b2．即c2＝2ab＋b2－2ab＋a2，即c2＝a2＋b2．從而巧妙地證明了勾股定理．這是中國古代數(shù)

4、學(xué)家獨(dú)立于西方畢達(dá)哥拉斯和歐幾里得發(fā)明的證法．后人沿用“出入相補(bǔ)原理”，也就是割補(bǔ)原理解決了許多數(shù)學(xué)問題，也創(chuàng)造了“勾股定理”的許多新證法．事實(shí)上每位初中同學(xué)學(xué)了勾股定理，只要用心思考，一定會用割補(bǔ)法想出更新的證明勾股定理的方法．下面的幾例拓展，希望細(xì)細(xì)體會．拓展　設(shè)a，b，c分別為直角三角形的勾、股、弦．（1）在圖2中，有a2＋b2＝（S3＋S5）＋（S1＋S2＋S4）　?。剑⊿4＋S5）＋（S1＋S2＋S3）＝2S2＋S1＋S3＝c2．?。?）在圖3中，有a2＋b2＝（S3＋S4）＋（S1＋S2）　?。絊1＋S3＋S4＋S＇2＋S5＝c2

5、（3）在圖4中，有a2＋b2＝（S2＋S5）＋（S1＋S3＋S4）　　＝S1＋S2＋S3＋S4＋S5＝c2．（4）在圖5中，有　a2＋b2＝(S′2＋S5)＋(S1＋S3＋S4)　　?。?S＇2＋S4)＋(S1＋S3＋S5)?。絊1＋S2＋S3＋S5＝c2．在課內(nèi)我們學(xué)過了勾股定理及它的逆定理．早在3000年前，我國已有“勾廣三，股修四，徑陽五”的說法．關(guān)于勾股定理，有很多證法，在我國它們都是用拼圖形面積方法來證明的．下面的證法1是歐幾里得證法．證法1如圖6所示．在Rt△ABC的外側(cè)，以各邊為邊長分別作正方形ABDE，BCHK，ACFG，它們

6、的面積分別是c2，a2，b2．下面證明，大正方形的面積等于兩個小正方形的面積之和．過C引CM∥BD，交AB于L，連接BG，CE．因?yàn)锳B＝AE，AC＝AG，∠CAE＝∠BAG，所以△ACE≌△AGB（SAS）．而S△ACE＝AE×ME＝SAEML，S△ABG＝AG×GF＝SACFG＝b2，　所以SAEML＝b2．①　同理可證SBLMD＝a2．②①＋②得SABDE＝SAEML＋SBLMD＝b2＋a2，即c2＝a2＋b2．證法2　如圖7所示．將Rt△ABC的兩條直角邊CA，CB分別延長到D，F(xiàn)，使AD=a，BF=b．構(gòu)成正方形CDEF(它的邊長為

7、a+b)，又在DE上截取DG=b，在EF上截取EH=b，連接AG，GH，HB．由作圖易知△ADG≌△GEH≌△HFB≌△ABC，所以AG＝GH＝HB＝AB＝c，∠BAG＝∠AGH＝∠GHB＝∠HBA＝90°，因此，AGHB為邊長是c的正方形．顯然，正方形CDEF的面積等于正方形AGHB的面積與四個全等的直角三角形（△ABC，△ADG，△GEH，△HFB）的面積和，即（a＋b）2＝c2＋4×ab，化簡得a2＋b2＝c2．　證法3　如圖8在直角三角形ABC的斜邊AB上向外作正方形ABDE，延長CB，自E作EG⊥CB延長線于G，自D作DK⊥CB延長

8、線于K，又作AF，DH分別垂直EG于F，H．由作圖不難證明，下述各直角三角形均與Rt△ABC全等：△AFE≌△EHD≌△BKD≌△ACB．設(shè)五邊形ACKDE的面積為