04 勾股定理與應(yīng)用.doc

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1、勾股定理與應(yīng)用1.勾股定理:直角三角形中,斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和.2.勾股定理的逆定理:有一條邊的平方等于其他兩邊的平方和的三角形是直角三角形.勾股定理最早的文字記載見于歐幾里得(公元前三世紀(jì))的《幾何原本》第一卷命題47,“直角三角形斜邊上的正方形面積等于兩直角邊上正方形面積之和”.勾股定理是數(shù)學(xué)史上一顆璀璨的明珠,在西方又稱畢達(dá)哥拉斯定理,它是歐幾里得幾何的重要定理之一,有的數(shù)學(xué)家形象地稱勾股定理為歐氏幾何的“拱心石”.?dāng)?shù)學(xué)大師陳省身先生說:“歐幾里得幾何的主要結(jié)論有兩個(gè),一個(gè)是畢達(dá)哥拉斯定理,一個(gè)是三角形內(nèi)角之和等于1800.”華羅庚教授曾建議把它送入其他星球,作為地

2、球人與“外星人”交談的語(yǔ)言,以探索宇宙的奧妙.到目前為止,勾股定理已有300多種證法.勾股定理揭示了直角三角形的三邊之間的關(guān)系,對(duì)于線段的計(jì)算,??捎晒垂啥ɡ砹蟹匠踢M(jìn)行求解;對(duì)于涉及平方關(guān)系的等式證明,可根據(jù)勾股定理進(jìn)行論證;對(duì)于已知三角形的三邊的長(zhǎng),要判斷其形狀,則可根據(jù)勾股定理的逆定理通過計(jì)算進(jìn)行判定.如果在問題的條件中發(fā)現(xiàn)與勾股定理極為類似的形式,就應(yīng)設(shè)法將所涉及的線段集中于一個(gè)直角三角形中,或者設(shè)法構(gòu)作出這個(gè)直角三角形,再進(jìn)行證明.我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽著《勾股圓方圖》全文530余字,在我國(guó)第一次明確給出了勾股定理的理論證明,“案弦圖又可以勾股相乘為朱實(shí)二,倍之,為朱實(shí)四,以勾股

3、之差自相乘為中黃實(shí),加差實(shí)亦成弦實(shí)”.證明勾股定理的“弦圖”,其中“弦實(shí)”是弦平方的面積,“弦圖”以弦為邊作正方形(如正方形ABCD),然后在“弦圖”內(nèi)部作四個(gè)直角三角形(如△AHB,△BEC,△CDF,△DAG).設(shè)a,b,c為四個(gè)直角三角形的勾、股、弦,則根據(jù)“出入相補(bǔ)原理”就有c2=4×ab+(b-a)2  c2=2ab+b2-2ab+a2,c2=a2+b2.即c2=2ab+b2-2ab+a2,即c2=a2+b2.從而巧妙地證明了勾股定理.這是中國(guó)古代數(shù)學(xué)家獨(dú)立于西方畢達(dá)哥拉斯和歐幾里得發(fā)明的證法.后人沿用“出入相補(bǔ)原理”,也就是割補(bǔ)原理解決了許多數(shù)學(xué)問題,也創(chuàng)造了“勾股定理”

4、的許多新證法.事實(shí)上每位初中同學(xué)學(xué)了勾股定理,只要用心思考,一定會(huì)用割補(bǔ)法想出更新的證明勾股定理的方法.下面的幾例拓展,希望細(xì)細(xì)體會(huì).拓展 設(shè)a,b,c分別為直角三角形的勾、股、弦.(1)在圖2中,有a2+b2=(S3+S5)+(S1+S2+S4) ?。剑⊿4+S5)+(S1+S2+S3)=2S2+S1+S3=c2. (2)在圖3中,有a2+b2=(S3+S4)+(S1+S2) ?。絊1+S3+S4+S'2+S5=c2(3)在圖4中,有a2+b2=(S2+S5)+(S1+S3+S4)  =S1+S2+S3+S4+S5=c2.(4)在圖5中,有 a2+b2=(S′2+S5)+(S1+S

5、3+S4)  ?。?S'2+S4)+(S1+S3+S5)?。絊1+S2+S3+S5=c2.在課內(nèi)我們學(xué)過了勾股定理及它的逆定理.早在3000年前,我國(guó)已有“勾廣三,股修四,徑陽(yáng)五”的說法.關(guān)于勾股定理,有很多證法,在我國(guó)它們都是用拼圖形面積方法來證明的.下面的證法1是歐幾里得證法.證法1如圖6所示.在Rt△ABC的外側(cè),以各邊為邊長(zhǎng)分別作正方形ABDE,BCHK,ACFG,它們的面積分別是c2,a2,b2.下面證明,大正方形的面積等于兩個(gè)小正方形的面積之和.過C引CM∥BD,交AB于L,連接BG,CE.因?yàn)锳B=AE,AC=AG,∠CAE=∠BAG,所以△ACE≌△AGB(SAS).

6、而S△ACE=AE×ME=SAEML,S△ABG=AG×GF=SACFG=b2, 所以SAEML=b2.① 同理可證SBLMD=a2.②①+②得SABDE=SAEML+SBLMD=b2+a2,即c2=a2+b2.證法2 如圖7所示.將Rt△ABC的兩條直角邊CA,CB分別延長(zhǎng)到D,F(xiàn),使AD=a,BF=b.構(gòu)成正方形CDEF(它的邊長(zhǎng)為a+b),又在DE上截取DG=b,在EF上截取EH=b,連接AG,GH,HB.由作圖易知△ADG≌△GEH≌△HFB≌△ABC,所以AG=GH=HB=AB=c,∠BAG=∠AGH=∠GHB=∠HBA=90°,因此,AGHB為邊長(zhǎng)是c的正方形.顯然,正方

7、形CDEF的面積等于正方形AGHB的面積與四個(gè)全等的直角三角形(△ABC,△ADG,△GEH,△HFB)的面積和,即(a+b)2=c2+4×ab,化簡(jiǎn)得a2+b2=c2. 證法3 如圖8在直角三角形ABC的斜邊AB上向外作正方形ABDE,延長(zhǎng)CB,自E作EG⊥CB延長(zhǎng)線于G,自D作DK⊥CB延長(zhǎng)線于K,又作AF,DH分別垂直EG于F,H.由作圖不難證明,下述各直角三角形均與Rt△ABC全等:△AFE≌△EHD≌△BKD≌△ACB.設(shè)五邊形ACKDE的面積為

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