二階時滯微分方程的振動性

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1、第一章時間尺度的基礎(chǔ)理論1．1時間尺度的歷史背景和理論意義通常人們研究微分方程和差分方程時，都是把他們分別開來進行研究。因此，很自然的問題是：能否建立一種統(tǒng)一離散和連續(xù)分析的理論?直至1988年，StefanHilger[1]在他的博士論文中首次對時間尺度理論的引入，這一問題在一定程度上才得到了解決。這一理論的提出，給對時滯微分方程和時滯差分方程的研究提供了有力的工具。因而，時間尺度上的微分方程的定性理論研究便引起了國內(nèi)外許多學(xué)者廣泛的關(guān)注，并獲得了一些很好的研究成果。比較有影響的代表著作有R．P．Agarwal1992年出版的專著[2]，V．

2、L．Kocic和G．Ladas1993年出版的專著[3]，M．R．S．Kulenovic和G．Ladas2001年出版的[4]等。其中專著[3]在介紹基本理論，總結(jié)已有結(jié)果與方法的基礎(chǔ)上，提出了許國“公開問題與猜想’’；另外，M．R．S．Kulenovic和G．Ladas等人在文獻[2]中，對二階非線性差分方程進行了比較系統(tǒng)的研究的同時，也提出了一些“公開問題與猜想’’，供研究者去探討。這些問題引起了研究者的強烈興趣，無疑也為初始研究者，尤其是那些初入門而找不到研究問題的人，提供了極好的、現(xiàn)成的研究課題。1995年國際差分方程專業(yè)期刊《Jour

3、nalofDifferenceEquationsandApplications》的創(chuàng)立更是推動了差分方程理論研究的發(fā)展，為差分方程理論研究的發(fā)展，為差分方程的交流與合作提供了一個專業(yè)的舞臺。尤其，該雜志的編輯G．Ladas教授把各國學(xué)者在研究中遇到不能解決的問題集中起來加以分類，以“公開問題與猜想"的形式在雜志專欄上提出，激起了人們的研究興趣，促進了差分方程理論的進一步發(fā)展。然而，對差分方程理論的研究還處于初始階段，許多方面有待于人們進行進一步研究。正如V．L．Kocic和G．Ladas在專著[3]中所言：“這是一個處于孕育階段的肥沃的研究領(lǐng)域

4、"。w．G．Kelly和A．C．Peterson在[5]中展望：差分方程是一個豐富的領(lǐng)域，既有趣又有用。因此，研究時間尺度上的微分方程對于尋求微分與差分方程的聯(lián)系和區(qū)別以及統(tǒng)一，推廣和改進微分與差分方程的許多重要結(jié)果有著重要意義。另一方面，由于時間尺度的特殊性，其研究方法既有與研究微分與差分方程的方法相同的地方，又有其蠱身的特瘸性。1．2基本概念1．2．1時標(biāo)的基本理論一個時標(biāo)是實數(shù)一個任意的非空閉子集，例如：R，Z，N，No，即實數(shù)，整數(shù)，自然數(shù)，非負自然數(shù)。定義1在時標(biāo)丁上定義跳躍算子p，仃：r呻r。其中，后跳算子pO)=sup{s∈?。簊

5、f)，infa：一supZ，sup彩：=infr。若pO)一f，則稱點￡是左稠的；若p(f)《f，則稱f∈r是左散射的；若盯0)一￡，則稱點f是右稠的；若口◇)》f，則稱f∈r是右敖射的；若尹擘)《￡<∥0)，則稱點爹是孤立的；若夕0)；f=拶0)，則稱點}是稠密的。最后定義步長函數(shù)弘：爹呻【o，∞)弘f爹)凈d∞一f。在上面的定義中，假設(shè)z為R的閉子集，則肛(f)，仃◇)均在f中。在其它的情況下，我們定義r：若r有一個左散射的最大值朋，定義r．_r一{朋)；否則，定義礦=r?？傊畓t；p(p(sup

6、丁)，suprpsupr一。lr，礦supr一∞最后，若，：r呻尺是一個函數(shù)，則我們定義函數(shù)，。：r—R，a(f)=，(盯◇))，f∈Z，f衛(wèi)．，，口一，?！?。定義2[19]設(shè)，：z呻R，t∈r‘。定義，A(f)為具有如下性質(zhì)的一個數(shù)(假定存在)：對任意的s>O，存在t的一個6鄰域，(即對任意6》O，u一(f一6，f+6)nz)，使得2l[，(仃(r))一，(s)]一，△[盯(，)一s】ls占l仃(r)一sl，s∈【廠。則稱，A(f)為廠在f上的△一導(dǎo)數(shù)。如果對所有的f∈丁‘都有，A(f)存在，則稱廠在Z‘△一可微，簡稱可微的。定理1[6]假設(shè)

7、，：r呻尺是一個函數(shù)，Z∈r‘。則有以下結(jié)論：(i)若，在點f可微，則廠在點f連續(xù)。(ii)若，在點f連續(xù)，且點f右散射的，則，在點f可微：川小掣鏟。(iii)若點f是右稠的，則，是可微的當(dāng)且僅當(dāng)存在且是一個有限的數(shù)。在這中情況F州；粵掣掣。(iv)若廠在點f可微，則，(∥(f))=廠(f)+∥(f)廠A(f)。定理2[20]假設(shè)，，g：r呻j5c在點f∈r‘可微。則(i)函數(shù)之和，+g：Z—R在f可微(廠+g)A(f)；，A(f)+gA(f)。(ii)對任意的常數(shù)口，口廠：r-’R在f可微(口廠)A(f)=口，A(f)。(iii)乘積函數(shù)居：

8、丁_尺在f可微(招)A(f)=，A(f)g(f)+，(盯(f))gA(f)。3(iv)若，(f)，(∥(f))辨。，則手在點f可微嘶小一稿。(V)若g