過兩圓交點(diǎn)的圓系方程及其推廣應(yīng)用.doc

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1、過兩圓交點(diǎn)的圓系方程及其推廣應(yīng)用（本文發(fā)表于《數(shù)理天地》雜志）福建晉江第一中學(xué)數(shù)學(xué)組黃馬慶郵編362200電話0595-85864496郵箱jjyzhmq@163.com關(guān)鍵詞過兩圓交點(diǎn)的圓系方程過兩圓交點(diǎn)的曲線系方程推廣應(yīng)用摘要本文通過過兩圓交點(diǎn)的圓系方程的應(yīng)用，推廣到過兩曲線交點(diǎn)的曲線系方程，并舉例說明其應(yīng)用。普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗教科書《數(shù)學(xué)必修2》第144頁習(xí)題4.2A組第4題：求圓心在直線上，并且經(jīng)過兩圓與的交點(diǎn)的圓的方程。第9題：求圓與圓的公共弦長。第10題：求經(jīng)過點(diǎn)以及圓與圓交點(diǎn)的圓的方程。這些問

2、題都涉及到求經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的圓的方程。普通的解法都是先求出兩圓的交點(diǎn)，然后再根據(jù)其它條件解決所求問題。但如果采用過兩圓交點(diǎn)的圓系方程來解，則可以化繁為簡不需求出兩圓的交點(diǎn)。下面以第4題為例說明其解法。解：設(shè)所求圓的方程為：，即。其中圓心為，又該圓心在直線上，即，得＝－7?！嗨髨A方程為。事實上，我們還可以將以上過兩圓交點(diǎn)的圓系方程進(jìn)一步推廣成過兩曲線交點(diǎn)的曲線系方程。即：如果兩條曲線的方程是和，它們的交點(diǎn)是，則方程所表示的曲線是經(jīng)過點(diǎn)的曲線系方程（但不包括曲線，其中為任意常數(shù)）。證明：（1）因為是曲線和的交點(diǎn)，

3、所以，，所以，所以方程所表示的曲線經(jīng)過點(diǎn)。（2）設(shè)為不在上的任意一點(diǎn)，則曲線經(jīng)過點(diǎn)的條件是。因為，所以，故若，方程表示的曲線就是經(jīng)過點(diǎn)和任一不在上的點(diǎn)的曲線。下面再舉例說明過兩曲線交點(diǎn)的曲線系方程的應(yīng)用。應(yīng)用一：證明曲線過定點(diǎn)例1求證：無論取何值，曲線總通過定點(diǎn)。證明：曲線即，解方程組得或故曲線總通過定點(diǎn)和。例2圓，直線:().證明：不論取何值，直線與圓恒交于兩點(diǎn)。證明：的方程即。由得，故恒過定點(diǎn)。又圓心，，故點(diǎn)在圓內(nèi)，從而直線與圓恒交于兩點(diǎn)。說明：本題若直接求交點(diǎn)，計算量將會相當(dāng)大。應(yīng)用二：求兩曲線相交所得

4、的公共弦所在直線例2已知圓：，圓：相交于，兩點(diǎn)，圓：，求直線交圓所得的弦長。解：過，兩點(diǎn)的曲線系方程：，令＝－1即得直線：。圓的圓心到直線的距離為，設(shè)所求弦長為，則，故，所求弦長為。應(yīng)用三：求曲線方程例4求過拋物線和的兩個交點(diǎn)，及點(diǎn)、、的曲線。解：直線的方程：即，又直線的方程為。設(shè)所求曲線方程為：（※）。因為過點(diǎn)，帶入（※）得，故所求曲線為。