圓系方程及其的應(yīng)用

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1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案直線系、圓系方程1、過(guò)定點(diǎn)直線系方程在解題中的應(yīng)用過(guò)定點(diǎn)（，）的直線系方程：（A,B不同時(shí)為0）.例1求過(guò)點(diǎn)圓的切線的方程．分析：本題是過(guò)定點(diǎn)直線方程問(wèn)題，可用定點(diǎn)直線系法.　　解析：設(shè)所求直線的方程為（其中不全為零），　　則整理有，　∵直線l與圓相切，∴圓心到直線l的距離等于半徑1，故，　　整理，得，即（這時(shí)），或．　　故所求直線l的方程為或．點(diǎn)評(píng)：對(duì)求過(guò)定點(diǎn)（，）的直線方程問(wèn)題，常用過(guò)定點(diǎn)直線法，即設(shè)直線方程為:，注意的此方程表示的是過(guò)點(diǎn)的所有直線（即直線系），應(yīng)用這種直線方程可以不受直線的斜率、截距等因素的限制，在實(shí)際解答問(wèn)題時(shí)可以避免分類討論，有效地防

2、止解題出現(xiàn)漏解或錯(cuò)解的現(xiàn)象．練習(xí)：　過(guò)點(diǎn)作圓的切線l，求切線l的方程．　　解：設(shè)所求直線l的方程為（其中不全為零），　　則整理有，　∵直線l與圓相切，∴圓心到直線l的距離等于半徑1，故，　　整理，得，即（這時(shí)），或．　　故所求直線l的方程為或．2、過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線系方程在解題中的應(yīng)用過(guò)直線：（不同時(shí)為0）與：（不同時(shí)為0）交點(diǎn)的直線系方程為：（，為參數(shù)）.例2求過(guò)直線：與直線：的交點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程.精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案分析：本題是過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線系問(wèn)題，可用過(guò)交點(diǎn)直線系求解.解析：設(shè)所求直線方程為：，當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，則=0，則=－1，此時(shí)所求直線方程

3、為：；當(dāng)所求直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，令=0，解得=，令=0，解得=，由題意得，=，解得，此時(shí)，所求直線方程為：.綜上所述，所求直線方程為：或.3、求直線系方程過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題例3證明：直線(是參數(shù)且∈R)過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).分析：本題是證明直線系過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，可用恒等式法和特殊直線法.解析：（恒等式法）直線方程化為:,∵∈R,∴，解得，，，∴直線(是參數(shù)且∈R)過(guò)定點(diǎn)（1,1）.（特殊直線法）取=0，=1得，，，聯(lián)立解得，，，將（1,1）代入檢驗(yàn)滿足方程，∴直線(是參數(shù)且∈R)過(guò)定點(diǎn)（1,1）.點(diǎn)評(píng)：對(duì)證明直線系過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，常用方法有恒等式法和特殊直線法，恒等式法就是將直線方程化為關(guān)

4、于參數(shù)的恒等式形式，利用參數(shù)屬于R，則恒等式個(gè)系數(shù)為0，列出關(guān)于的方程組，通過(guò)解方程組，求出定點(diǎn)坐標(biāo);特殊直線法，去兩個(gè)特殊參數(shù)值，得到兩條特殊直線，通過(guò)接著兩條特殊直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，并代入原直線系方程檢驗(yàn)，即得定點(diǎn).一、常見(jiàn)的圓系方程有如下幾種：1、以為圓心的同心圓系方程：　與圓＋＋＋Ｆ＝０同心的圓系方程為：＋＋＋＝０精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案2、過(guò)直線＋＋Ｃ＝０與圓＋＋＋Ｆ＝０交點(diǎn)的圓系方程為：＋＋＋Ｆ＋（＋＋Ｃ）＝０（Ｒ）3、過(guò)兩圓:＋＝0，:＋＝０交點(diǎn)的圓系方程為：＋＋（＋）＝0（≠-１，此圓系不含:＋＝０）特別地，當(dāng)＝－１時(shí)，上述方程為根軸方程．兩圓相交時(shí)，表示公共弦方

5、程；兩圓相切時(shí)，表示公切線方程．注：為了避免利用上述圓系方程時(shí)討論圓，可等價(jià)轉(zhuǎn)化為過(guò)圓和兩圓公共弦所在直線交點(diǎn)的圓系方程:二、圓系方程在解題中的應(yīng)用：1、利用圓系方程求圓的方程：例求經(jīng)過(guò)兩圓x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交點(diǎn)，并且圓心在直線x-y-4=0上的圓的方程。例１、求經(jīng)過(guò)兩圓＋3－－2＝０和＋2＋＋１＝０交點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的方程．解：方法3：由題可設(shè)所求圓的方程為：　?。ǎ?－－2）＋（＋2＋＋１）＝０∵?。?，0）在所求的圓上，∴　有－2＋＝０．　從而＝２故所求的圓的方程為：即　＋7＋＝０。練習(xí)：求經(jīng)過(guò)兩圓x2+y2+6x-4=0和x2+

6、y2+6y-28=0的交點(diǎn),并且圓心在直線x-y-4=0上的圓的方程.1解:構(gòu)造方程x2+y2+6x-4+λ(x2+y2+6y-28)=0即(1+λ)x2+(1+λ)y2+6x+6λy-(4+28λ)=0此方程的曲線是過(guò)已知兩圓交點(diǎn)的圓,且圓心為當(dāng)該圓心在直線x-y-4=0上時(shí),即∴所求圓方程為x2+y2-x+7y-32=0精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案2、利用圓系方程求最小面積的圓的方程：例2（1）：求過(guò)兩圓和的交點(diǎn)且面積最小的圓的方程?！　》治觯罕绢}若先聯(lián)立方程求交點(diǎn)，再設(shè)所求圓方程，尋求各變量關(guān)系，求半徑最值，雖然可行，但運(yùn)算量較大。自然選用過(guò)兩圓交點(diǎn)的圓系方程簡(jiǎn)便易行。為了

7、避免討論，先求出兩圓公共弦所在直線方程。則問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為求過(guò)兩圓公共弦及圓交點(diǎn)且面積最小的圓的問(wèn)題。解：圓和的公共弦方程為過(guò)直線與圓的交點(diǎn)的圓系方程為，即依題意，欲使所求圓面積最小，只需圓半徑最小，則兩圓的公共弦必為所求圓的直徑，圓心必在公共弦所在直線上。即，則代回圓系方程得所求圓方程例２（2）;求經(jīng)過(guò)直線：2＋＋4＝０與圓Ｃ：＋2－4＋1＝０的交點(diǎn)且面積最小的圓的方程．解：設(shè)圓的方程為：＋2－4＋1＋（2＋＋4）＝０即＋＋（1＋4）＝０則，當(dāng)＝時(shí)，最小，從而圓的面積最小，故所求圓的方程為：＋26－12＋37＝０練習(xí)：1．求經(jīng)過(guò)