圓系方程及其的應用

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1、實用標準文案直線系、圓系方程1、過定點直線系方程在解題中的應用過定點（，）的直線系方程：（A,B不同時為0）.例1求過點圓的切線的方程．分析：本題是過定點直線方程問題，可用定點直線系法.　　解析：設所求直線的方程為（其中不全為零），　　則整理有，　∵直線l與圓相切，∴圓心到直線l的距離等于半徑1，故，　　整理，得，即（這時），或．　　故所求直線l的方程為或．點評：對求過定點（，）的直線方程問題，常用過定點直線法，即設直線方程為:，注意的此方程表示的是過點的所有直線（即直線系），應用這種直線方程可以不受直線的斜率、截距等因素的限制，在實際解答問題時可以避免分類討論，有效地防

2、止解題出現漏解或錯解的現象．練習：　過點作圓的切線l，求切線l的方程．　　解：設所求直線l的方程為（其中不全為零），　　則整理有，　∵直線l與圓相切，∴圓心到直線l的距離等于半徑1，故，　　整理，得，即（這時），或．　　故所求直線l的方程為或．2、過兩直線交點的直線系方程在解題中的應用過直線：（不同時為0）與：（不同時為0）交點的直線系方程為：（，為參數）.例2求過直線：與直線：的交點且在兩坐標軸上截距相等的直線方程.精彩文檔實用標準文案分析：本題是過兩直線交點的直線系問題，可用過交點直線系求解.解析：設所求直線方程為：，當直線過原點時，則=0，則=－1，此時所求直線方程

3、為：；當所求直線不過原點時，令=0，解得=，令=0，解得=，由題意得，=，解得，此時，所求直線方程為：.綜上所述，所求直線方程為：或.3、求直線系方程過定點問題例3證明：直線(是參數且∈R)過定點，并求出定點坐標.分析：本題是證明直線系過定點問題，可用恒等式法和特殊直線法.解析：（恒等式法）直線方程化為:,∵∈R,∴，解得，，，∴直線(是參數且∈R)過定點（1,1）.（特殊直線法）取=0，=1得，，，聯立解得，，，將（1,1）代入檢驗滿足方程，∴直線(是參數且∈R)過定點（1,1）.點評：對證明直線系過定點問題，常用方法有恒等式法和特殊直線法，恒等式法就是將直線方程化為關

4、于參數的恒等式形式，利用參數屬于R，則恒等式個系數為0，列出關于的方程組，通過解方程組，求出定點坐標;特殊直線法，去兩個特殊參數值，得到兩條特殊直線，通過接著兩條特殊直線的交點坐標，并代入原直線系方程檢驗，即得定點.一、常見的圓系方程有如下幾種：1、以為圓心的同心圓系方程：　與圓＋＋＋Ｆ＝０同心的圓系方程為：＋＋＋＝０精彩文檔實用標準文案2、過直線＋＋Ｃ＝０與圓＋＋＋Ｆ＝０交點的圓系方程為：＋＋＋Ｆ＋（＋＋Ｃ）＝０（Ｒ）3、過兩圓:＋＝0，:＋＝０交點的圓系方程為：＋＋（＋）＝0（≠-１，此圓系不含:＋＝０）特別地，當＝－１時，上述方程為根軸方程．兩圓相交時，表示公共弦方

5、程；兩圓相切時，表示公切線方程．注：為了避免利用上述圓系方程時討論圓，可等價轉化為過圓和兩圓公共弦所在直線交點的圓系方程:二、圓系方程在解題中的應用：1、利用圓系方程求圓的方程：例求經過兩圓x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交點，并且圓心在直線x-y-4=0上的圓的方程。例１、求經過兩圓＋3－－2＝０和＋2＋＋１＝０交點和坐標原點的圓的方程．解：方法3：由題可設所求圓的方程為：　　（＋3－－2）＋（＋2＋＋１）＝０∵?。?，0）在所求的圓上，∴　有－2＋＝０．　從而＝２故所求的圓的方程為：即?。?＋＝０。練習：求經過兩圓x2+y2+6x-4=0和x2+

6、y2+6y-28=0的交點,并且圓心在直線x-y-4=0上的圓的方程.1解:構造方程x2+y2+6x-4+λ(x2+y2+6y-28)=0即(1+λ)x2+(1+λ)y2+6x+6λy-(4+28λ)=0此方程的曲線是過已知兩圓交點的圓,且圓心為當該圓心在直線x-y-4=0上時,即∴所求圓方程為x2+y2-x+7y-32=0精彩文檔實用標準文案2、利用圓系方程求最小面積的圓的方程：例2（1）：求過兩圓和的交點且面積最小的圓的方程?！　》治觯罕绢}若先聯立方程求交點，再設所求圓方程，尋求各變量關系，求半徑最值，雖然可行，但運算量較大。自然選用過兩圓交點的圓系方程簡便易行。為了

7、避免討論，先求出兩圓公共弦所在直線方程。則問題可轉化為求過兩圓公共弦及圓交點且面積最小的圓的問題。解：圓和的公共弦方程為過直線與圓的交點的圓系方程為，即依題意，欲使所求圓面積最小，只需圓半徑最小，則兩圓的公共弦必為所求圓的直徑，圓心必在公共弦所在直線上。即，則代回圓系方程得所求圓方程例２（2）;求經過直線：2＋＋4＝０與圓Ｃ：＋2－4＋1＝０的交點且面積最小的圓的方程．解：設圓的方程為：＋2－4＋1＋（2＋＋4）＝０即＋＋（1＋4）＝０則，當＝時，最小，從而圓的面積最小，故所求圓的方程為：＋26－12＋37＝０練習：1．求經過