2010-2011學(xué)年第一學(xué)期線性代數(shù)期末考試

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1、2010-2011學(xué)年第一學(xué)期線性代數(shù)期末考試一．（12分）回答問(wèn)題：1.矩陣等價(jià)于矩陣的定義是：2.矩陣相似于矩陣的定義是：3.實(shí)矩陣是正交矩陣的定義，或者充要條件是：4.實(shí)矩陣是對(duì)稱正定矩陣的定義，或者充要條件是：二．（24分）填空：1.設(shè)矩陣對(duì)應(yīng)特征值的3個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量為，常數(shù)滿足什么條件時(shí)，也是的特征向量．2.將3階行列式的第1列的2倍加到第2列得到的行列式記為，再對(duì)換的第2行與第3行得到的行列式記為，那么和及的數(shù)值關(guān)系是什么？3.設(shè)矩陣的特征值互不相同，且，則4.設(shè)為2階方陣，2維列向量組線性無(wú)關(guān)，且

2、滿足，，則的全體特征值是5.設(shè)矩陣的各行元素之和是3，且，則的伴隨矩陣的各行元素之和是6.設(shè)線性方程組有唯一解，劃分，其中為矩陣，為矩陣，則齊次方程組的基礎(chǔ)解系中含解向量的個(gè)數(shù)的范圍是三．（10分）計(jì)算行列式提示：的第一行四．（16分）已知可由，，線性表示，求數(shù)及全體表示式．五．（16分）已知為實(shí)對(duì)稱矩陣，二次型在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)型為，且的第3列為．1)求矩陣及；2)求方程的解．六．（14分）在向量空間中，基（I）與基（II）滿足，，1)求由基（I）改變?yōu)榛↖I）的過(guò)渡矩陣；2)求在基（I）下的坐標(biāo)．七．（8分）設(shè)

3、為維列向量組，令．1)證明；2)如果線性相關(guān)，證明．例2已知3階方陣A=(a1,a2,a3),det(A)=2,3階方陣B=(a1-a2+2a3,a2+a3,a2-a3),求det(B).例3已知3階方陣A的行列式det(A)=2,求det(A-1-2A*)例4求例1中的第一行代數(shù)余子式之和.例12′2方陣X滿足AXB=2AX+C,其中A,B,C是已知二階方陣，求X;(A+E)-1(A2-2A+3E)例2三階方陣P,A,A=(a1,a2,a3),如果AP=(2a1,a1+a2,a3-a1),則P=______例3設(shè)A

4、是m′n的矩陣，且m>n，則det(AAT)=___例4設(shè)A是列滿秩矩陣，證明:det(ATA)>0例5設(shè)A是實(shí)對(duì)稱矩陣，證明：對(duì)于"x10,都有xTAx/xTx￡maxl(A)例6求f=x2+y2+z2-2xy-2yz-2xz在滿足x2+y2+z2=1的條件下的最大值與最小值。例7設(shè)A是3階方陣，rankA=1,det(A+3E)=0,問(wèn)A是否可對(duì)交化?說(shuō)明理由.例8證明：若n階方陣A滿足A2=A,則rank(A-E)+rankA=n，且A可對(duì)角化。例9設(shè)A為n階方陣，證明：例1設(shè)A是n階方陣，x是n維列向量，若存

5、在一正整數(shù)k使得Ak-1x10，Akx=0，證明向量組x,Ax,?,Ak-1x線性無(wú)關(guān).例2設(shè)A是三階方陣，l1,l2是A的兩個(gè)互異特征值，x1與x2是對(duì)應(yīng)的特征向量，又Ax3=x2+l2x3,證明向量組x1,x2,x3線性無(wú)關(guān)。例3設(shè)向量空間V={(x1,x2,?xn)

6、x1-2x2=0,x2+x3-x4=0,x1-x2+x3-x4=0},則dimV=_______例4設(shè)A,B分別是m′n與n′p矩陣，且AB=0，證明rankA+rankB￡n例5設(shè)矩陣A,B都是n階方陣，證明：若rankA+rankB

7、=0與Bx=0必有公共非零解。例6若方陣A,B滿足A-B=AB，證明:1不是B的特征值（B-E可逆）；例7正交矩陣的實(shí)特征值只能是正負(fù)1.