分?jǐn)?shù)階微積分理論及其應(yīng)用研究

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1、●，—●1＼＼●●】■-■■■-一■I’kp童．』’10llIIIIIrlllIIlY1844446ADissertationfortheDegreeofDoctorinPatternRecognitionandIntelligentSystemsStudyonFractionl—-ordercalculusandItsApplicationsbyZhangYanzhuSupervisor：ProfessorXueDingyuNortheasternUniversityMay2008I『l『If?！！?。。。。。。。。。。。。≮■，；--tr--IL’’●引●{—1

2、1_ll獨(dú)創(chuàng)性聲明本人聲明，所呈交的學(xué)位論文是在導(dǎo)師的指導(dǎo)下完成的。論文中取得的研究成果除加以標(biāo)注和致謝的地方外，不包含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過(guò)的研究成果，也不包括本人為獲得其他學(xué)位而使用過(guò)的材料。與我一同工作的同志對(duì)本研究所做的任何貢獻(xiàn)均已在論文中作了明確的說(shuō)明并表示謝意。學(xué)位論文作者簽名：匆g龜剜弋日期：學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書本學(xué)位論文作者和指導(dǎo)教師完全了解東北大學(xué)有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定：即學(xué)校有權(quán)保留并向國(guó)家有關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和磁盤，允許論文被查閱和借閱。本人同意東北大學(xué)可以將學(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行檢索、交流。作者和導(dǎo)師同意網(wǎng)

3、上交流的時(shí)間為作者獲得學(xué)位后：半年口一年口一年半口兩年口學(xué)位論文作者簽名：簽字日期：導(dǎo)師簽名：簽字日期：0^l東北大學(xué)博士學(xué)位論文摘要分?jǐn)?shù)階微積分理論及其應(yīng)用研究摘要實(shí)際系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過(guò)程本質(zhì)上是分?jǐn)?shù)階的。運(yùn)用整數(shù)階系統(tǒng)模型難以更好描述某些類型系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過(guò)程。分?jǐn)?shù)階微積分理論是解決這一難題的有效途徑，運(yùn)用分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)模型可以更好描述系統(tǒng)特性。分?jǐn)?shù)階微積分中微分、積分的階次可以是任意的，它擴(kuò)展了人們所熟知的整數(shù)階微積分的描述能力?；谡麛?shù)階微積分理論的傳統(tǒng)控制方法和模型在不同程度上存在一些問(wèn)題，隨著實(shí)際工業(yè)系統(tǒng)的日益復(fù)雜化和人們對(duì)控制要求的日益提高，基于整數(shù)階理論的控制技術(shù)有時(shí)難

4、以獲得令人滿意的性能。分?jǐn)?shù)階微積分不僅為系統(tǒng)科學(xué)提供了一個(gè)新的數(shù)學(xué)工具，而且為解決實(shí)際工業(yè)過(guò)程中存在的問(wèn)題提供了一種可行的有效途徑。本文著重研究分?jǐn)?shù)階微積分理論應(yīng)用于實(shí)際系統(tǒng)的理論、方法和應(yīng)用技術(shù)。本文具有創(chuàng)新性的研究工作和成果可概括如下：首先，針對(duì)現(xiàn)實(shí)世界物理系統(tǒng)模型多是偏微分方程的特點(diǎn)，提出分?jǐn)?shù)階偏微分方程的數(shù)值求解方法，充分利用了分?jǐn)?shù)階微積分理論，并結(jié)合傳統(tǒng)的整數(shù)階偏微分方程的求解方法，提出了基于Laplace變換的方法和基于Adomain分解的方法。這兩種方法綜合了解析方法，數(shù)值方法和現(xiàn)代符號(hào)數(shù)學(xué)。盡管所提出方法的基本原則是簡(jiǎn)單的，但是，這些方法能夠應(yīng)用到廣泛

5、的偏微分模型的邊界控制問(wèn)題和干擾問(wèn)題中。這些方法比傳統(tǒng)的有限元方法更簡(jiǎn)單，對(duì)于整數(shù)階偏微分方程也完全適用。此外，可以得到解的解析結(jié)構(gòu)，而不僅僅是數(shù)值結(jié)果。其次，針對(duì)基于古典微積分理論的建模方法存在物理特性難以完全體現(xiàn)等問(wèn)題，提出將分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)模型推廣應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)世界的弦振動(dòng)系統(tǒng)，并給出了弦振動(dòng)系統(tǒng)分?jǐn)?shù)階模型，并與目前應(yīng)用比較廣泛的振動(dòng)系統(tǒng)整數(shù)階模型進(jìn)行了對(duì)比研究。同時(shí)，就振動(dòng)系統(tǒng)中比較關(guān)注的邊界控制和抗干擾能力進(jìn)行了設(shè)計(jì)和分析。最后通過(guò)仿真研究驗(yàn)證了提出的邊界控制方法和抗干擾設(shè)計(jì)的有效性。第三，主要研究并分析了傳輸線上波的傳播特性，推導(dǎo)出時(shí)間分?jǐn)?shù)階有損傳輸線模型，并推廣該

6、模型為任意階次來(lái)表征傳輸線上電壓電流波的反常擴(kuò)散；提出基于分?jǐn)?shù)階的Adomian分解方法，得出近似的傳輸線電壓解析解；最后用實(shí)驗(yàn)說(shuō)明時(shí)間分?jǐn)?shù)階傳輸線模型的波動(dòng)傳播特點(diǎn)，采用分?jǐn)?shù)階模型開辟了傳輸線瞬態(tài)分析的新方向。最后，研究了分?jǐn)?shù)階微積分理論在控制系統(tǒng)中的PID控制應(yīng)用問(wèn)題，系統(tǒng)的闡述了分?jǐn)?shù)階PID控制參數(shù)整定的實(shí)現(xiàn)過(guò)程。在分?jǐn)?shù)階PID控制器的設(shè)計(jì)中，為了考慮暫態(tài)時(shí)一II—東北大學(xué)博士學(xué)位論文摘要間響應(yīng)的性能，采用誤差平方的積分作為設(shè)計(jì)最優(yōu)分?jǐn)?shù)階PID控制器的設(shè)計(jì)性能指標(biāo)，應(yīng)用遺傳算法整定分?jǐn)?shù)階PID控制器參數(shù)通過(guò)使用該遺傳算法，分別進(jìn)行了采用整數(shù)階PID控制器和分?jǐn)?shù)階

7、PID控制器，對(duì)整數(shù)階和分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的控制器參數(shù)整定的對(duì)比仿真。結(jié)果表明，采用分?jǐn)?shù)階P11D9控制器的控制效果優(yōu)于整數(shù)階PID控制器關(guān)鍵詞：分?jǐn)?shù)階振動(dòng)系統(tǒng)；分?jǐn)?shù)階微積分；分?jǐn)?shù)階傳輸線模型；分?jǐn)?shù)階邊界控制；分?jǐn)?shù)階PID控制器一III—東北大學(xué)博士學(xué)位論文AbstractStudyonFractionl—ordercalculusandItsApplicationsAbstractDynamicsystemisfractionl-orderordersysteminessence．Theinteger-ordermodelsofsystemssometim