賭博的鞅論模型及隨機(jī)模擬

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1、第24卷第6期四川理工學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)Vol.24No.62011年12月JournalofSichuanUniversityofScience＆Engineering(NaturalScienceEdition)Dec.2011文章編號(hào):1673-1549(2011)06-0715-04賭博的

2、鞅論模型及隨機(jī)模擬112魏艷華，王丙參，李艷穎(1．天水師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅天水741001;2．寶雞文理學(xué)院數(shù)學(xué)系，陜西寶雞721013)摘要:賭博是一種重要的社會(huì)現(xiàn)象，對(duì)其定性研究很多，但關(guān)于運(yùn)用數(shù)學(xué)模型進(jìn)行定量研究的文獻(xiàn)并不多。鑒于此，運(yùn)用概率論及鞅論建立了賭博模型，探討了破產(chǎn)概率、賭博策略及賭博停止次數(shù)。最后給出了Matlab編制的隨機(jī)模擬程序，并依據(jù)數(shù)值模擬結(jié)果對(duì)賭博策略提出了幾點(diǎn)指導(dǎo)意見。關(guān)鍵詞:賭博模型;鞅論;隨機(jī)模擬中圖分類號(hào):O211.9文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:Aq引言令q=1－p，c=a+b，β=，則甲恰好a+2i局輸光p近幾十年

3、來(lái)，鞅論不僅在隨機(jī)過(guò)程及其它數(shù)學(xué)分支的概率是aCipiqa+i，甲輸光的概率a+2ia+2i中占據(jù)了重要的地位，而且在實(shí)際問(wèn)題諸如金融、保險(xiǎn)b1及可靠性理論上也得到了廣泛的應(yīng)用，如在風(fēng)險(xiǎn)模型a+b，p=q=2［1-3］Pa=中，利用鞅論求解破產(chǎn)概率是非常簡(jiǎn)潔的。賭博是bacac{pq－qβ－βq=，p≠ccc人類的第二大天性，自古至今一直活躍在人們的生活p－q1－β中，并對(duì)社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、政治、文化等方面產(chǎn)生了各種各樣乙輸光的概率為1－Pa。的影響，然而實(shí)際中的各種賭博勝負(fù)都帶有極大的偶證明令A(yù)="恰好賭a+2i局輸光"，Bk="a+2i［4-5］然

4、性。本文運(yùn)用鞅論建立了賭博模型，探討了破產(chǎn)局中贏k局"，k=0，1，…，由全概率公式可得概率、賭博策略及賭博停止次數(shù)，最后運(yùn)用Matlab軟件∞P(A)=∑P(A

5、Bk)P(Bk)=P(A

6、Bi)P(Bi)=進(jìn)行了隨機(jī)模擬。k=0iia+iaiia+iPCpq=Cpq1賭博模型a+i，ia+2ia+2ia+2i［6-7］令X表示賭了n局后甲手中的賭金，則{X，n≥引理1.1若在一次選舉中，候選人A得到n張nn選票而候選人B得到m張選票且n＞m，假定選票的一0}是一個(gè)齊次馬爾科夫鏈(MC)，狀態(tài)空間E={0，1，切排列次序是等可能的，則在計(jì)票過(guò)程中

7、，A的票數(shù)始…，c}，狀態(tài)0，c為吸收態(tài)，其一步轉(zhuǎn)移概率為(n－m)終領(lǐng)先的概率Pn，m=。p，j=i+1(n+m)pij=q，j=i－1，0＜i＜c，p00=pcc=1定理1.1若賭徒甲開始有a元，乙有b元，在每次{0，其他賭局中甲以概率p贏得乙一元，且各局賭博結(jié)果相互獨(dú)立沒(méi)有和局，賭博一直進(jìn)行到有一個(gè)人全部輸光為止，設(shè)Pi表示甲從狀態(tài)i出發(fā)到破產(chǎn)的概率，顯然有P0=收稿日期:2011-10-08基金項(xiàng)目:甘肅省自然科學(xué)研究基金計(jì)劃(096RJZE106);甘肅省教育廳項(xiàng)目(0908-07)作者簡(jiǎn)介:魏艷華(1978-)，女，吉林四平人，講師

8、，碩士，主要從事隨機(jī)過(guò)程及金融數(shù)學(xué)方面的研究，(E-mail)wei5yan6hua7@126．com716四川理工學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)2011年12月1，P=0，1≤i≤c－1，由全概率公式可得c2賭博的鞅論模型Pi=pPi+1+qPi－1Pi+1－Pi=β(Pi－Pi－1)［1］定理2.1設(shè){Mn，F(xiàn)n=σ(X0，…，Xn)，n≥0}為故有P－P=βi(P－P)鞅，T是停時(shí)且滿足P(T＜∞)=1，E(

9、MT

10、)＜∞，i+1i10limE(

11、M

12、I)=0，則EM=EM。將上式連加可得n→∞n{T＞n}T0c－1［1］P－P=(P－P)k，

13、0≤i≤c定理2.2設(shè){Mn}是關(guān)于{Fn}的鞅，若一ci10∑βk=i個(gè)非負(fù)r．vY滿足EY＜∞且對(duì)n成立

14、Mn

15、＜Y，則1(c－i)(1－P)，p=q=12{M}是一致可積鞅。nP=i{βi－βc［1］(1－P)，p≠q定理2.3設(shè){Mn，F(xiàn)n=σ(X0，…，Xn)，n≥0}為11－β一致可積鞅，T是停時(shí)且滿足P(T＜∞)=1，E(

16、MT令i=1可得

17、)＜∞，則EM=EM。T0111－，p=q=c2每個(gè)賭博者自然都對(duì)使得他在一系列賭博后獲得P=1{β－βcq期望收益最大化的策略感興趣。若一個(gè)賭博者正在進(jìn)，p≠c1－β行一系列的賭博，每次

18、賭博贏的概率是p，令{Yn，n≥將P1代入上式得:1}是一列獨(dú)立同分布(i．i．d)的隨機(jī)變量(r．v)，表示(c－i)，p=q每次賭博