分析隨機(jī)數(shù)學(xué)-錢敏平，葉俊

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1、第一章隨機(jī)事件與概率1第一章隨機(jī)事件與概率§1樣本空間與隨機(jī)事件1隨機(jī)現(xiàn)象自然界中有許多現(xiàn)象在一定條件下必然會發(fā)生。例如：同性電荷必然互相排斥，在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下水加熱到100℃必然沸騰等等，這類現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象，在一定條件下，必然出現(xiàn)的結(jié)果稱必然事件。必然事件的對立面是不可能事件。然而自然界中還存在大量的非確定性現(xiàn)象。例如觀察某一商店每天來的顧客數(shù)與銷售商品的數(shù)額都不是確定的；又如：正在放射α粒子的放射性物質(zhì)，每天在同一規(guī)定的時間內(nèi)放射的粒子數(shù)，事先無法確定，這類現(xiàn)象的共同點(diǎn)是：在基本條件保持不變的情況之下，可能出現(xiàn)這樣的結(jié)果，時而又出現(xiàn)那樣的結(jié)果，而且事先無法斷言出現(xiàn)的究竟是哪一種結(jié)果，這

2、類現(xiàn)象就稱為隨機(jī)現(xiàn)象。2隨機(jī)試驗所謂隨機(jī)試驗。直觀的講，觀察(或量測)在一定條件下隨機(jī)現(xiàn)象出現(xiàn)的結(jié)果，即隨機(jī)試驗(簡稱試驗)。進(jìn)行一次試驗就是在特定條件實(shí)現(xiàn)一次并觀察其結(jié)果。在一次試驗中，某個結(jié)果是否出現(xiàn)具有一定的偶然性。比如說，我們擲一次骰子，就可以看成是一次試驗；因為擲骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是無法預(yù)先確定的，即試驗的結(jié)果是偶然的、隨機(jī)的。但許多實(shí)踐早已證明：當(dāng)進(jìn)行大量的重復(fù)試驗時，其結(jié)果就會出現(xiàn)某種固有規(guī)律性。例如，在投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣時，只投擲一次時，投擲的結(jié)果是正面還是反面是無法確定的，但當(dāng)大量重復(fù)投擲硬幣，就可以看到出現(xiàn)正面的次數(shù)約占總試驗次數(shù)的一半。又如某人打靶射擊，若射擊次數(shù)不多，

3、靶上的彈著點(diǎn)似乎是隨意分布的，但倘若進(jìn)行大量的重復(fù)射擊時，彈著點(diǎn)的分布就逐漸呈現(xiàn)規(guī)律性：它們大體上關(guān)于靶中心對稱，靠近靶心的彈著點(diǎn)密，偏離靶心越遠(yuǎn)彈著點(diǎn)越稀少，且彈著點(diǎn)落在靶任意指定區(qū)域內(nèi)的次數(shù)與射擊次數(shù)n之比(頻率)大體上保持穩(wěn)定，且n越大，其頻率穩(wěn)定性就愈加明顯，這種在大量重復(fù)試驗中隨機(jī)現(xiàn)象所呈現(xiàn)的固有規(guī)律，我們通常稱之為統(tǒng)計規(guī)律。為了研究的方便，我們有時也會把具有固定結(jié)果的試驗，看成是隨機(jī)試驗的極端情形。有時，又需要把幾次試驗作為一個整體合起來看成一次隨機(jī)試驗，例如：可以把連續(xù)擲三次骰子看成是一次隨機(jī)試驗。若試驗具有下列共同特征：1)在相同的條件下，試驗可重復(fù)進(jìn)行；2第一章隨機(jī)事件與概

4、率2)試驗的一切可能結(jié)果是預(yù)先可以明確的，但每次試驗前無法預(yù)先斷言究竟會出現(xiàn)哪個結(jié)果。則稱之為隨機(jī)試驗，簡稱試驗，記作E或E1，E2等。例如：E1：擲一枚硬幣，觀察正面或反面出現(xiàn)的情況。E2：記錄某一個服務(wù)臺在8∶00～9∶00之間到來的顧客數(shù)。E3：在有噪聲干擾的條件下，測量線路某一終端電壓。3樣本空間對于隨機(jī)試驗E，以ω表它的一個可能出現(xiàn)的試驗結(jié)果，稱ω為E的一個樣本點(diǎn)。樣本點(diǎn)的全體稱為樣本空間，用Ω表示。即Ω={ω}。從集合論的觀點(diǎn)看，樣本空間Ω是由一切可能結(jié)果所構(gòu)成的集合，而每個樣本點(diǎn)ω是集合Ω中的元素。對于上面的隨機(jī)試驗有：E1：擲一枚硬幣一次，觀察出現(xiàn)正、反面的情況。則E1的樣本

5、空間為Ω={ω1,ω2}；其中ω1表示出現(xiàn)的是正面，ω2表示出現(xiàn)的是反面，ω1與ω2分別為Ω的樣本點(diǎn)。E2：服務(wù)臺在8∶00～9∶00之間到來的顧客數(shù)，則Ω={n

6、n=0,1,2…}；可見Ω包含可列無窮多個樣本點(diǎn)。E3：在有噪聲干擾下，測量某終端電壓，則Ω={x

7、x∈R}，其樣本點(diǎn)有不可數(shù)無窮多個。注：在同樣的試驗條件下，由于試驗的考察側(cè)面與目的不同，可能選擇不同的樣本空間，這是初學(xué)者必須注意的。例如：E4：一枚硬幣投擲兩次觀察出現(xiàn)正面的次數(shù)(注意此時投擲兩次硬幣才算完成一次實(shí)驗)。Ω4={0,1,2}，其0,1,2分別表示出現(xiàn)正面的次數(shù)，共有3個樣本點(diǎn)。E5：一枚硬幣投擲兩次觀察出現(xiàn)正、反

8、面的次序，則Ω5={ωω，ωω′，ω′ω，ω′ω′}（其中：ω代表出現(xiàn)正面，ω′代表出現(xiàn)反面)，包含4個樣本點(diǎn)。為了便于理解，以下僅限制樣本空間Ω為可列集時，給出相應(yīng)的概念。4隨機(jī)事件為了便于直觀理解，不妨在這一小節(jié)先設(shè)樣本空間Ω={ω}為可列集。通常，對于某個隨機(jī)試驗來說，在一次試驗中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事件，就稱為隨機(jī)事件。我們用大寫英文字母A、B、C、Ai等來表示。例如：在實(shí)驗E1中，A1={ω1}表示出現(xiàn)正面這一事件，A2={ω2}表示出現(xiàn)反面這一事件。A1，A2都是事件。在E2中，A={n

9、0≤n≤10}表示在8∶00～9∶00之間出現(xiàn)的顧客數(shù)不超過10人這一事件。在E5中，A=

10、{ωω，ω’ω)表示擲第二次出現(xiàn)的是正面這事件。在引入了樣本空間的定義后，即從集合論的觀點(diǎn)看：粗略地說，樣本空間Ω的子集就是隨機(jī)事件。第一章隨機(jī)事件與概率3對于事件A??，若?中的某一樣本點(diǎn)ω(∈Ａ)在本次實(shí)驗中出現(xiàn)了，則稱該次試驗中事件A發(fā)生。若ω?A，即ω在本次實(shí)驗中沒有出現(xiàn)，則稱該次試驗中A不發(fā)生。從隨機(jī)事件的定義可以看出隨機(jī)事件包含著兩個極端情形。其一是在任何一次試驗中必然出現(xiàn)的事件，稱為必然事件。由