雙正交小波基的完備性

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1、與１２（ｚ）中的正交小波相比，￡２（ｚ）中的雙正交小波所對(duì)應(yīng)的分解和重構(gòu)濾波器是不同的．我們從一階雙正交小波生成元出發(fā)構(gòu)造了高階雙正交小波基，并討論了無(wú)限迭代下去所對(duì)應(yīng)的小波系的完備性．本文是按如下方式組織的．第一章給出了本文所用的記號(hào)、概念、研究背景和主要結(jié)論；第二章討論了￡２（ｚ）中Ｐ階雙正交小波基的構(gòu)造；第三章研究了ｆ２（ｚ）中雙正交小波系的完備性．關(guān)鍵詞：雙正交小波；完備性；Ｆｏｕｒｉｅｒ變換ＡｂｓｔｒａｃｔＣｏｎｔｒａｓｔｅｄｗｉｔｈｔｈｅｄｉｓｃｒｅｔｅｏｒｔｈｏｇｏｎａｌｗａｖｅｌｅｔｂａｓｅｓｏｆｔ２（ｚ），ｄｉｓｃｒｃｔｃｂｉｏｒｔｈｏｇｏ

2、ｎａｌｗａｖｅｌｅｔｂａｓｅｓｏｆｅＵｘ）ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｔｏｄｉｆｆｅｒｅｎｔｆｉｌｔｅｒｂａｎｋｓｉｎａｎａｌｙｓｉｓａｎｄｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ－Ｉｎｔｈｉｓｔｈｅｓｉｓ｝ｗｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔＰｓｔａｇｅｂｉｏｒｔｈｏｇｏｎａｌｗａｖｅｌｅｔｓｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｆｉｒｓｔｓｔａｇｅｗａｖｅｌｅｔｓｙｓｔｅｍ；ＴｈｅｎｗｅｄｉｓｃｕｓｓｔｈｅｃｏｍｐｌｅｔｅｎｅｓｓｏｆｔｈｅｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇｗａｖｅｌｅｔｓｙｓｔｅｍＴｈｅｔｈｅｓｉｓｉｓｏｒｇａｎｉｚｅｄａｓｆｏｌｌｏｗｓ：Ｉｎｃｈａｐｔｅｒ１，ｓｏｎｉｃｎｅｃｅ

3、ｓｓａｒｙｎｏｔａｔｉｏｎｓ）ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓ，ｔｈｅｂａｃｋｇｒｏｕｎｄａｎｄｔｈｅｍａｉｎｒｅｓｕｌｔｓａｒｅｇｉｖｅｎ；ｉｎｅｈａｐｔｅｒ２，ｔｈｅ。ｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎｏｆＰｓｔａｇｅｂｉｏｒｔｈｏｇｏｎａｌｗａｖｅｌｅｔｓｉｓｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｅｄａｎｄｃｈａｐｔｅｒ３ｉｓｄｅｖｏｔｅｄｔｏｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎｏｆｔｈｅｃｏｍｐｌｅｔｅｎｅｓｓｏｆｂｉｏｒｔｈｏｇｏｎａｌｗａｖｅｌｅｔｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｂｉｏｒｔｈｏｇｏｎａｌｗａｖｅｌｅｔ；Ｃｏｍｐｌｅｔｅｎｅｓｓ；ＩＩＩＦｏｕｒｉｅｒｔｒａｎｓｆｏｒｍ獨(dú)創(chuàng)性聲明本人聲明所

4、呈交的論文是我個(gè)人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的研究成果。盡我所知，除了文中特別加以標(biāo)注和致謝的地方外，論文中不包含其他人已經(jīng)發(fā)表和撰寫(xiě)過(guò)的研究成果，也不包含為獲得北京工業(yè)大學(xué)或其他教育機(jī)構(gòu)的學(xué)位或證書(shū)而使用過(guò)的材料，與我一同工作的同志對(duì)本研究所做的任何貢獻(xiàn)均已在論文中作了明確的說(shuō)明并表示了謝意。簽名：塵立：３１１ｉ日期枷ｏＳ．ｆ．Ｚ關(guān)于論文使用授權(quán)的說(shuō)明本人完全了解北京工業(yè)大學(xué)有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，即：學(xué)校有權(quán)保留送交論文的復(fù)印件，允許論文被查閱和借閱；學(xué)?？梢怨颊撐牡娜炕虿糠謨?nèi)容，可以采用影印、縮印或其他復(fù)制手段保存論文．（保密的論文在解

5、密后應(yīng)遵守此規(guī)定）簽名：，童：，！?。×?dǎo)師簽名：二暈蘭二０日期礎(chǔ)參．７ｔ第一章緒論§１．１概念與記號(hào)在本文中，我們用Ｎ表示正整數(shù)集；ｚ表示整數(shù)集；Ｒ表示實(shí)數(shù)集定義￡２（ｚ）為滿足ｌｉｚ［Ｉ＝（∑ｌｚ（女）ｎ｛＜＋。ｏ的所有序列。構(gòu)成的ＨｉｌｂｅｒｔｋＥＺ空間．而ｆ１（ｚ）為滿足ｌ［ｚｌＩ＝∑ｌｚ（女）ｌ＜＋ｏ。的所有序列Ｚ構(gòu)成的Ｂａｎａｃｈ空女∈Ｚ間，易見(jiàn)￡１（ｚ）￡￡２（ｚ）．類(lèi)似地，Ｌ２［一Ⅱ，”］為滿足ＩＩｆ［［＝（擊仁Ｉ，（目）ｒ枷）ｊ１＜＋。。的所有函數(shù)，構(gòu)成的Ｈｉｌｂｅｒｔ空間．設(shè)ｚ∈￡２（ｚ），它的Ｆｏｕｒｉｅｒ變換ｌ定義為；ｊ（口）＝∑

6、ｚ（≈）ｅ“．那么ｋＥＺ｛（目）∈Ｌ２［一”，”】且㈣ｌ＝ＩＩ。ｌｌ，其中ｌｌｊ｛１２＝磊１￡１２＠）１２ｄＯ，顯然ｚ＠）＝擊仁￡（目）ｅ－ｉｋＯｄＯ．對(duì)ｚ，ｕ∈儼（ｚ），定義卷積；ｔｕ＝∑：坼一％沁（％），容易驗(yàn)證下述結(jié)論成立（…）：（１）若２∈孽１（ｚ），ｕ∈驢（ｚ），則２＋ｕ∈驢（ｚ）．（２）若＝Ｅ￡１（ｚ），ｕ∈孽１（ｚ），則Ｚ｝ｕ∈￡１（ｚ）．ｒ３）ｚ￥“Ｊ＝ｕ十２＋（４）若Ｚ∈孽１（ｚ），ｕ∈鏟（ｚ），則（。＋ｕ）“（目）＝未（占）ｏ（臼）ａ．ｅ．下述定義均取自文獻(xiàn)【１］，如無(wú)特殊聲明，本文的符號(hào)和術(shù)語(yǔ)均與（１】相同．對(duì)?！剩梗玻ǎx共軛反射

7、為礦（ｎ）＝ｊＦ可，則爭(zhēng)（目）＝乏麗．對(duì)ｚ∈臚（ｚ），定義平移算子墩：Ｒ＆ｚ（ｎ）＝ｚ（ｎ一≈），則（瞰。）“（ｐ）＝ｅ渤￡（口）．設(shè)毛ｕ∈護(hù)（ｚ），容易驗(yàn)證下面兩條性質(zhì)：（１）對(duì)Ｖｋ∈ｚ，則０，Ｒｋｕ）＝Ｚ｝ｏ（女）．（２）對(duì)Ｖｋ，Ｊ∈ｚ，貝９（弓。，Ｒｋｕ）＝（Ｚ，Ｒｋ一，ｕ）．下述兩個(gè)算子在本文中是重要的：對(duì)Ｚ∈壚（ｚ）：定義上采樣算子為ｎ為偶數(shù)＂為奇數(shù)則（ｕ（：））“（口）＝ｚ（２０）對(duì)。Ｅ驢（ｚ），定義下采樣算子為Ｄ（ｚ）（ｎ）＝ｚ（２ｎ）北京工業(yè)大學(xué)理學(xué)碩士學(xué)位論文類(lèi)似地，Ｌ２＠）為滿足ＩＩｆｌｌ＝（矗ｌ，（ｚ）１２ｄｚ）｛＜＋。。的所有函數(shù)，構(gòu)成

8、的Ｈｉｌｂｅｒｔ空間．對(duì)ｆ∈Ｌ２（Ｒ）