矩陣的廣義逆及其應用 畢業(yè)論文

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1、矩陣的廣義逆及其應用摘要：矩陣的廣義逆，即Moore-Penrose逆，在眾多理論與應用科學領域，例如微分方程、數(shù)值代數(shù)、線性統(tǒng)計推斷、最優(yōu)化、電網(wǎng)絡分析、系統(tǒng)理論、測量學等，都扮演著不可或缺的重要角色。本文首先介紹了廣義逆的定義以及廣義逆的性質(zhì)，主要內(nèi)容是矩陣廣義逆的應用，包括廣義逆在分塊矩陣理論中的各種應用，廣義逆的Cramer法則和廣義逆的計算，并對部分理論給出簡單的解釋，同時加以舉例說明。關鍵詞：分塊矩陣；廣義逆；Moore—Penroce逆；Cramer法則.ThegeneralizedinversematrixanditsapplicationAbstract:Thege

2、neralizedinverseofmatrix,i.e.theinverseofMoore-Penrose,playsanindispensableroleinmanyfieldsoftheoriesandappliedsciences,suchasdifferentialequation,numericalalgebra,linearstatisticalinference,optimization,theanalysisofelectricalnetwork,systemtheoryandsurveying,etc.Thethesisintroducesthedefinitio

3、nandthepropertyofthegeneralizedinverseforthefirstplace,anditsprimarycontentistheapplicationofgeneralizedinversematrixincludingitsallkindsofapplicationsintheblockmatrixtheory,itsCramerruleanditscalculation.Besides,briefexplanationsaregiventosometheorieswithillustrations.Keywords:blockmatrix;gene

4、ralizedinverse;inverseofMoore-Penrose;Cramerrule.1引言-17-矩陣的廣義逆概念是由美國學者E.H.Moore首先提出的，但在此后的30多年里，矩陣的廣義逆很少被人們所注意，直到1955年英國學者R.Penrose利用四個矩陣方程給出了廣義逆矩陣的簡潔實用的新定義之后，廣義逆矩陣的理論與應用才進入了迅速發(fā)展的時期。半個世紀以來，在眾多理論與應用科學領域都扮演著不可或缺的重要角色。陳永林，張云孝，楊明，劉先忠,徐美進等在文獻[1],[2],[12],[14]中給出了矩陣廣義逆的定義，還對部分定義進行了舉例證明。羅自炎，修乃華，楊明等又在文

5、獻[8],[14]中給出了矩陣廣義逆的各種定理；而陳明剛，燕列雅，李桃生，姜興武，王秀玉，吳世，杜紅霞，劉桂香等又分別在文獻[4],[6],[9],[13]，[16]中對矩陣廣義逆進行了推廣，介紹了分塊矩陣的廣義逆以及循環(huán)矩陣的廣義逆。張靜，徐美進，徐長青，杜先能,蔡秀珊,崔雪芳等又在文獻[3],[12],[15]，[17],[18]中給出了矩陣廣義逆的計算方法，并加以舉例說明。同時還提出了廣義逆的Cramer法則及其應用。潘芳芳，梁少輝，趙彬等又在文獻[5],[11]中介紹了Quantale矩陣的廣義逆及其正定性。魯立剛，何永濟，王自風，趙梁紅等則在文獻[7],[10]介紹了Fuz

6、zy矩陣廣義逆的性質(zhì)和應用。本文在上述工作的基礎上，總結了廣義逆的定義以及廣義逆的性質(zhì)，給出矩陣廣義逆在數(shù)學中的應用，包括廣義逆在分塊矩陣理論中的各種應用，廣義逆的Cramer法則和廣義逆的計算，并對部分理論給出簡單的解釋，對一些重要的結論給出典型例題加以說明。2.矩陣廣義逆的定義及其推導2.1定義定義1.對于任意復數(shù)矩陣，如果存在，滿足Moore—Penroce方程則稱為的一個Moore—Penroce廣義逆，或簡稱加號逆，記作=。如果某個只滿足其中某幾條，則稱它為的某幾條廣義逆。如若有某個滿足（1）式，則稱為的{1}廣義逆，或簡稱減號逆，記作=。如果Y滿足（1）和（2）式，則稱為

7、的廣義逆，記作Y{1,2}。例1.設當時，可逆,且;當時，不可逆,且不難驗證。注意到,這說明的元素并非是關于的元素的連續(xù)函數(shù)。一般地，把的元素的變化引起其秩的變化時，這種非連續(xù)性將會發(fā)生。例2.設矩陣為矩陣。若，定義；當時，（）。定義2.設為行列矩陣，若其中，的級數(shù)相同，則。-17-（1-1）其中為行列式中元素的代數(shù)余子式，則稱為的廣義伴隨矩陣。定義2.設為行列矩陣，若,則稱為一廣義非奇異矩陣；若，則稱為一廣義奇異矩陣。2.2方程的理論推導命題1.。證明：