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《滿秩矩陣及矩陣滿秩分解 畢業(yè)論文》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在學(xué)術(shù)論文-天天文庫。
1、滿秩矩陣及矩陣滿秩分解引言矩陣是數(shù)學(xué)中的一個重要的基本概念,是代數(shù)學(xué)的一個主要研究對象,也是數(shù)學(xué)研究和應(yīng)用的一個重要工具.“矩陣”這個詞是由西爾維斯特首先使用的,他是為了將數(shù)字的矩形陣列區(qū)別于行列式而發(fā)明了這個述語.而實際上,矩陣這個課題在誕生之前就已經(jīng)發(fā)展的很好了.一矩陣的秩定義1.1[1]一個矩陣中不等于零的子式的最大階數(shù)叫做這個矩陣的秩.記作.利用定義1.1計算矩陣的秩運算量很大,故而給出矩陣秩的第二定義.定義1.2[2]矩陣的秩等于的行秩,也等于的列秩,即行秩等于列秩.行秩指矩陣行向量組的
2、秩,列秩指矩陣列向量組的秩.定理1.1定義1.1和定義1.2等價.證明設(shè)的秩為,則有不等于零的階子式.不妨設(shè)位于的左上角,設(shè)的前個列向量為.設(shè),使得考慮線性方程組因為（2）的系數(shù)矩陣中有一個不等于零的階子式,所以的秩為,從而線性方程組的（2）只有零解.因此滿足（1）式的,也即證明了線性無關(guān).設(shè)是的任意個列向量.考慮線性方程組因為方程組(3)的系數(shù)矩陣14的秩小于,所以（3）有非零解,也即有.二滿秩矩陣2.1滿秩矩陣的概念定義2.1.1設(shè)上的一個矩陣,若,則稱為滿秩矩陣.定義2.1.2設(shè)上的一個矩陣
3、,若,則稱為行滿秩矩陣;若,則稱為列滿秩矩陣.命題2.1.1若上的一個滿秩矩陣,則.命題2.1.2若矩陣的個行向量線性無關(guān),則稱此矩陣為行滿秩矩陣;若矩陣的個列向量線性無關(guān),則稱此矩陣為列滿秩矩陣.例2.1.1,則的三個列向量可知線性無關(guān).由命題2.1.2可知,為列滿秩矩陣,且.而的三個行向量易知線性無關(guān).由命題2.1.2可知,為行滿秩矩陣,且.2.2滿秩矩陣的性質(zhì)性質(zhì)2.2.1設(shè)上的一個矩陣,若為行滿秩矩陣,則;若為列滿秩矩陣,則.證法Ι若為行滿秩矩陣,則,即存在的一個不為的階子式.當(dāng)14,則不
4、存在不為的階子式,故.同理可證,若為列滿秩矩陣,則.證法Ⅱ若為行滿秩矩陣,則,由命題2.1.2知,有個行向量線性無關(guān);當(dāng),則有個列向量線性無關(guān).由此可得的行秩為,列秩為.但這與“的行秩等于的列秩”矛盾,因此,即.同理可證,若為列滿秩矩陣,則.引理2.2.1[3]設(shè)那么:其中稱為“Sylvester不等式”.性質(zhì)2.2.2設(shè)若為列滿秩矩陣,則;若為行滿秩矩陣,則.證明若為列滿秩矩陣,則,由“Sylvester不等式”知,再由引理2.2.1知,從而.同理可證,若為行滿秩矩陣,則.引理2.2.2設(shè),則存
5、在數(shù)域上非零的矩陣,使得的充分必要條件為.其逆否命題可表述為設(shè),則存在數(shù)域上非零的矩陣,使得的充分必要條件為定理2.2.1設(shè)且,若,則為列滿秩矩陣.證明由于,故,從而,由引理2.2.2的逆否命題知,又,故,從而,即為列滿秩矩陣.定理2.2.2設(shè)且,若,則為行滿秩矩陣.證明由于,故,從而,由引理2.2.2的逆否命題知,又,故,從而,即為行滿秩矩陣.14引理2.2.3[1]設(shè)為矩陣,即通過行初等變換和第一種列初等變換能把化成如下形式進而再利用一系列第三種列初等變換能把化成如下形式這里性質(zhì)2.2.3若為
6、的列滿秩矩陣,則存在行列的行滿秩矩陣,使得;若為的行滿秩矩陣,則存在行列的列滿秩矩陣,使得.證明因為為列滿秩矩陣,顯然,由引理2.2.3知,則存在可逆的階方陣將在行和行之間劃分成塊則為矩陣,為矩陣,則知.又由于,而知,故為14行滿秩矩陣.同理可證,對于的行滿秩矩陣,必存在行列的列滿秩矩陣,使得性質(zhì)2.2.4設(shè),且上的一個列滿秩矩陣,若,則左消去律成立即.證明因為,由,,則即設(shè),,,從而有,故有由于為列滿秩矩陣,線性無關(guān),從而即.性質(zhì)2.2.5設(shè),且上的一個行滿秩矩陣,若,則右消去律成立即.證明因為
7、,又為行滿秩矩陣,由性質(zhì)2.2.3知必存在一列滿秩矩陣,使得;由條件知,給等式兩邊同乘得到.定理2.2.3設(shè)為矩陣,,則14(1)存在行列的列滿秩矩陣和行列的行滿秩矩陣,使得.(2)若,其中與為行列的列滿秩矩陣,與為行列的行滿秩矩陣,則必存在非奇異矩陣使得.證明（1）由于,當(dāng)時,是的一個滿秩分解;當(dāng)時,是的一個滿秩分解;當(dāng)時,我們知道,可通過行初等變換將化形式,也即存在階可逆矩陣和階可逆矩陣有令則（2）因為是行列的行滿秩矩陣,所以由性質(zhì)2.2.3知,存在行列的列滿秩矩陣,使得,于是在,兩邊右乘,有
8、.令知是階方陣,下證可逆.由于是行列的列滿秩矩陣,所以存在行列的行滿秩矩陣,使,從而,所以是階可逆矩陣.又因故而三矩陣的滿秩分解3.1矩陣滿秩分解的概念定義3.1.1[4]設(shè),,若存在的列滿秩矩陣和14的行滿秩矩陣,使得,則稱此分解為矩陣的滿秩分解.推論3.1.1任意矩陣都存在滿秩分解.根據(jù)定理2.2.3顯然易證.3.2初等變換法基于定理2.2.3,我們可以得知,對任意矩陣都能利用初等變換法進行滿秩分解.初等變換法包括行初等變換和列初等變換.行初等變換有三種變換形式,1交換兩行記作
