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1、精品文檔§4.3矩陣的滿秩分解本節(jié)討論一個mxn復(fù)矩陣A可以分解為兩個與A的秩相同的矩陣之積的問題。定義4.3.1設(shè)mxn復(fù)矩陣A的秩為r,如果存在兩個與A的秩相同的復(fù)矩陣F與G,使得A=FG,則稱此式為復(fù)矩陣A的滿秩分解。當(dāng)A是滿秩矩陣時（行滿秩或列滿秩）A可以分解為單位矩陣與A自身的乘積，這個滿秩分解叫做平凡分解。定理4.3.1設(shè)mMn復(fù)矩陣A的秩為r>0,則A有滿秩分解。、?…、口……，…/G）證：因為rankA=r>0,對A施行初等行變換，可得到階梯形矩陣B=,其中G為r父n矩陣，并且rankG=ra0;因此存在著有限個m階初等矩陣之積，記作P,有PA=B,或者A=P
2、/B,將矩陣P,分塊為P」=（F：S）,其中F為mwr矩陣，S為mm(n-r)矩陣，并且rankF=r,rankS=n-r。G則有a=p,b=(fS0J=FG,其中F是列滿秩矩陣，S是行滿秩矩陣。但是，矩陣A的滿秩分解不唯一。這是因為若取任意一個r階非奇異矩陣D,則有_1.~>A=FG=(FD)(DG)=FG?！?10例1、求矩陣A=12/212-11的滿秩分解。-2-b解：對矩陣A進行初等行變換1-10(A”戶12<221210-1101-2-1000'「—101210T01)1001-10、0=B=1」,f-1一?-1012、其中G=所以B=0<0203,<001220
3、3000」「100P=110<1-1L’10P，=-11「210)「10'0=(F-S),其中F=—11D-2力由此可見，所以有F、1：c；GA=PB=(F=FG=-1S「20、「1—1011<0201J2、3,111歡迎下載精品文檔定義4.3.2設(shè)mMn復(fù)矩陣H的秩為r（r>0）,并且滿足以下條件：1）矩陣H的前r行中的每一行至少含有一個不為零的元素，并且第一個不為零的元素是1,而后m—r行的元素均為零；2）如果矩陣H的第i行的第一個不為零的元素1在第ji列（i=1,2，…，r）,則ji：二j2：二…；jr；3）矩陣H的jhj2,…，jr列是單位矩陣Im的前r列；則稱矩陣H
4、為Hermite標(biāo)準(zhǔn)形（最簡型）。由此定義可見，對于任意一個秩為r的mwn復(fù)矩陣A,均可以經(jīng)過初等行變換將其化為Hermite標(biāo)準(zhǔn)形H,而且矩陣H的前r列元素組成的列向量組線性無關(guān)。定義4.3.3以n階單位矩陣In的n個列向量e,%,…，en為列構(gòu)成的n階矩陣P二（ej1,ej2,…，ejn）叫做置換矩陣。其中j1，j2,…，jn是1,2,…，n的一個全排列。定理4.3.2設(shè)mxn復(fù)矩陣A的秩為r（rA0）,矩陣A的Hermite標(biāo)準(zhǔn)形為H,則在矩陣A的滿秩分解A=FG中，可以取矩陣F為A的j1,j2,…，jr列構(gòu)成的mxr列矩陣，G為H的前r行構(gòu)成的rMn列矩陣?！?101
5、2'例2、求矩陣A=12-11的滿秩分解。/2-2-1,「-10A=12<22-11t01-2—1,?0解：先求出矩陣A的Hermite標(biāo)準(zhǔn)形-12032=H,H的第1列與第2列構(gòu)成I3的前兩00」列，所以矩陣F為A的第1列與第2列構(gòu)成的3M2矩陣，G為H的前2行構(gòu)成的2黑4矩產(chǎn)-10、陣，即F=12,G<22」所以A=FG-1：1<20,102<012廣-1203/2,111歡迎下載精品文檔111歡迎下載精品文檔對比例1,可以看出矩陣A的滿秩分解不唯一。111歡迎下載精品文檔歡迎您的下載,資料僅供套考!致力為企業(yè)和個人提供合同協(xié)議，策劃案計劃書，學(xué)習(xí)資料等等打造全網(wǎng)一站式需
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