代數(shù)幾何相轉(zhuǎn)化相映成輝是一家

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1、２０１８年第５７卷第６期數(shù)學(xué)通報(bào)５５代數(shù)幾何相轉(zhuǎn)化相映成輝是一家———對(duì)一道高考圓錐曲線問(wèn)題的變式探究范方兵１２王芝平（１．北京市第二中學(xué)１０００１０２．北京宏志中學(xué)１０００１３）２（－∞，－３）∪（－３，０）∪（０，１）．試題再現(xiàn)：已知拋物線Ｃ：ｙ＝２ｐｘ經(jīng)過(guò)點(diǎn)Ｐ（１，２）．過(guò)點(diǎn)Ｑ（０，１）的直線ｌ與拋物線Ｃ有兩個(gè)ｙ＝ｋｘ＋１，（Ⅱ）解法一由消去ｘ，不同的交點(diǎn)Ａ，Ｂ，且直線ＰＡ交ｙ軸于Ｍ，直線２｛ｙ＝４ｘ，整理得ｋｙ２ＰＢ交ｙ軸于Ｎ．－４ｙ＋４＝０．（Ⅰ）求直線ｌ的斜率的取值范圍；設(shè)Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），（Ⅱ）設(shè)Ｏ為原點(diǎn)ＱＭ→＝λＱＯ→，ＱＮ→＝μＱＯ→

2、，求４烄ｙ１＋ｙ２＝，ｋ１１則證：＋為定值．烅λμ４ｙ１ｙ２＝．這是２０１８年高考北京卷理科的第１９題，在烆ｋｙ１－２全卷中處于倒數(shù)第二題的位置，題目設(shè)計(jì)新穎，背直線ＰＡ的斜率ｋＰＡ＝，ｘ１－１景深刻，難度適中，以拋物線為載體考查直線與圓ｙ１－２錐曲線的位置關(guān)系，考查解析幾何的坐標(biāo)化思想、直線ＰＡ的方程為ｙ－２＝（ｘ－１），ｘ１－１數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化思想以及數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理ｙ１－２２ｘ１－ｙ１令ｘ＝０，得ｙ＝２－＝，等核心素養(yǎng)，是一道值得細(xì)細(xì)品味的好題．現(xiàn)將本ｘ１－１ｘ１－１２題的解答及分析過(guò)程整理如下，希望得到同行的ｙ１２ｙ１２ｙ１將ｘ１＝代入整理得ｙ＝，則Ｍ０，．指教．４ｙ１＋２

3、（ｙ１＋２）１試題解法變式研究于是ＱＭ→＝０，ｙ１－２，（ｙ１＋２）解（Ⅰ）由題意，Ｃ：ｙ２＝２ｐｘ經(jīng)過(guò)點(diǎn)Ｐ（１，→→→由ＱＯ＝（０，－１）以及ＱＭ＝λＱＯ，２２２），所以２＝２ｐ×１，所以２ｐ＝４，拋物線Ｃ：ｙ２－ｙ１２－ｙ２＝４ｘ．知λ＝，同理μ＝．２＋ｙ１２＋ｙ２易知直線ｌ的斜率存在，設(shè)其方程為ｙ＝ｋｘ１１２＋ｙ１２＋ｙ２４４２＋＝＋＝－２＋＋＋１（ｋ≠０），與拋物線Ｃ：ｙ＝４ｘ聯(lián)立得：λμ２－ｙ１２－ｙ２２－ｙ１２－ｙ２２２ｋｘ＋（２ｋ－４）ｘ＋１４－（ｙ１＋ｙ２）＝－２＋４×４－２（ｙ１＋ｙ２）＋ｙ１ｙ２＝０，４由題意有，ｋ≠０且Δ＝１６４－ｋ－１６ｋ＞０，得

4、ｋ＜１且ｋ＝－２＋４×８４＝２．４－＋≠０．ｋｋ如圖１，ＰＢ與ｙ軸有交解法二設(shè)Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），Ｍ（０，點(diǎn)，故點(diǎn)Ｂ不能是點(diǎn)ＰｙＭ），Ｎ（０，ｙＮ），２…（１）（１，２）關(guān)于ｘ軸的對(duì)稱烄ｙ１＝４ｘ１于是點(diǎn)（１，－２），故ｋ≠－３．烅ｙ２…（２）烆２＝４ｘ２→→所以ｋ的取值范圍為圖１ＱＡ＝（ｘ１，ｙ１－１），ＱＢ＝（ｘ２，ｙ２－１），５６數(shù)學(xué)通報(bào)２０１８年第５７卷第６期由Ｑ，Ａ，Ｂ三點(diǎn)共線知ｘ１（ｙ２－１）＝ｘ２（ｙ１－１），切線（切點(diǎn)分別為Ｏ，Ｐ）和一條“割線”，ＰＡ，ＰＢ２２是過(guò)其中一個(gè)切點(diǎn)的兩條直線（這兩條直線分別ｙ１ｙ２將ｘ１＝，ｘ２＝代入，４４過(guò)“割線”

5、與拋物線的交點(diǎn)），Ｍ，Ｎ是這兩條直線整理得ｙ１ｙ２＝ｙ１＋ｙ２…（３）與另一條切線的交點(diǎn)（如圖２），那么對(duì)于滿足→→ＰＡ＝（ｘ１－１，ｙ１－２），ＰＭ＝（－１，ｙＭ－２），→→→→１１ＱＭ＝λＱＯ，ＱＮ＝μＱＯ的λ，μ，＋＝２總成由Ｐ，Ａ，Ｍ三點(diǎn)共線知λμ（ｘ）（ｙ）＝－（ｙ），立．我們自然要問(wèn)，如果改變點(diǎn)Ｑ的位置，并進(jìn)一１－１Ｍ－２１－２步將拋物線改成橢圓、雙曲線等，結(jié)論還成立嗎？２－ｙ１２ｙ１得ｙＭ＝２＋＝．ｘ１－１２＋ｙ１→→→２－ｙ１，由ＱＯ＝（０，－１）以及ＱＭ＝λＱＯ知λ＝２＋ｙ１２－ｙ２同理μ＝．２＋ｙ２１１２＋ｙ１２＋ｙ２＋＝＋λμ２

6、－ｙ１２－ｙ２４－（ｙ１＋ｙ２）圖２圖３＝－２＋４×，４－２（ｙ１＋ｙ２）＋ｙ１ｙ２猜想如圖３，點(diǎn)Ｑ是圓錐曲線?！巴獠俊比危保睂ⅲǎ常┐胝淼茫剑玻庖稽c(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Ｑ分別引圓錐曲線Γ的兩條切線λμＱＰ，ＱＲ（切點(diǎn)分別為Ｐ，Ｒ），過(guò)Ｑ引一條圓錐曲２２ｙ１ｙ２解法三設(shè)Ａ（，ｙ１），Ｂ（，ｙ２）（ｙ１≠ｙ２），線Γ的“割線”，與其交于Ａ，Ｂ兩點(diǎn)，過(guò)切點(diǎn)Ｐ的４４兩條直線ＰＡ，ＰＢ與另一條切線ＱＲ交于Ｍ，Ｎ，ｙ２－１ｙ１－１由Ｑ，Ａ，Ｂ三點(diǎn)共線，有２＝２，那么對(duì)于滿足→→→→ｙ２ｙ１ＱＭ＝λＱＲ，ＱＮ＝μＱＲ的λ，μ，總４４１１有＋＝２．整理得ｙ１ｙ２＝ｙ１＋ｙ２．λμｙ１－２實(shí)

7、際上，本文所探討的題目以及猜想，與由Ｐ（１，２），則ｌＡＰ：ｙ－２＝２（ｘ－１），ｙ１２００８年高考安徽卷理科數(shù)學(xué)第２２題有著內(nèi)在聯(lián)－１４系，其幾何背景涉及到高等幾何中的極點(diǎn)、極線以４令ｘ＝０得ｙＭ＝２－，及調(diào)和點(diǎn)列的知識(shí)，現(xiàn)逐步來(lái)進(jìn)行說(shuō)明（關(guān)于極ｙ１＋２點(diǎn)、極線的知識(shí)，限于篇幅暫不做深入探討）．ｙ２－２同理，ｌＢＰ：ｙ－２＝２（ｘ－１），（２００８年高考安徽卷理科第２２題）設(shè)橢圓Ｃ：ｙ２－１２２４ｘｙ２＋２＝１（ａ＞ｂ＞０）過(guò)點(diǎn)Ｍ（槡２，１）