14.初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料（14）

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1、初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料（14）經(jīng)驗(yàn)歸納法甲內(nèi)容提要1．通常我們把“從特殊到一般”的推理方法、研究問題的方法叫做歸納法。通過有限的幾個(gè)特例，觀察其一般規(guī)律，得出結(jié)論，它是一種不完全的歸納法，也叫做經(jīng)驗(yàn)歸納法。例如①由(－1)2＝1，（－1）3＝－1，（－1）4＝1，……，歸納出－1的奇次冪是－1，而－1的偶次冪是1。②由兩位數(shù)從10到99共90個(gè)（9×10），三位數(shù)從100到999共900個(gè)（9×102），四位數(shù)有9×103＝9000個(gè)（9×103），…………歸納出n位數(shù)共有9×10n-1　(個(gè))③由1+3=22,　1+3+5=32,　1+3+5+7=42……推斷出從1開始的n個(gè)連續(xù)奇數(shù)的

2、和等于n2等?？梢钥闯鼋?jīng)驗(yàn)歸納法是獲取新知識(shí)的重要手段，是知識(shí)攀緣前進(jìn)的階梯。2.　經(jīng)驗(yàn)歸納法是通過少數(shù)特例的試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，猜想結(jié)論，要使規(guī)律明朗化，必須進(jìn)行足夠次數(shù)的試驗(yàn)。由于觀察產(chǎn)生的片面性，所猜想的結(jié)論，有可能是錯(cuò)誤的，所以肯定或否定猜想的結(jié)論，都必須進(jìn)行嚴(yán)格地證明。（到高中，大都是用數(shù)學(xué)歸納法證明）乙例題例1平面內(nèi)n條直線，每兩條直線都相交，問最多有幾個(gè)交點(diǎn)？解：兩條直線只有一個(gè)交點(diǎn)，12第3條直線和前兩條直線都相交，增加了2個(gè)交點(diǎn)，得1＋23第4條直線和前3條直線都相交，增加了3個(gè)交點(diǎn)，得1＋2＋3第5條直線和前4條直線都相交，增加了4個(gè)交點(diǎn)，得1＋2＋3＋4………第n條直

3、線和前n－1條直線都相交，增加了n－1個(gè)交點(diǎn)由此斷定n條直線兩兩相交，最多有交點(diǎn)1＋2＋3＋……n－1（個(gè)），這里n≥2，其和可表示為［1+（n+1）］×,　即個(gè)交點(diǎn)。35例2．符號(hào)n！表示正整數(shù)從1到n的連乘積，讀作n的階乘。例如　5！＝1×2×3×4×5。試比較3n與（n+1）！的大?。╪是正整數(shù)）解：當(dāng)n＝1時(shí)，3n＝3,?。╪＋1）?。?×2＝2當(dāng)n＝2時(shí)，3n＝9，　（n＋1）?。?×2×3＝6當(dāng)n＝3時(shí)，3n＝27,?。╪＋1）！＝1×2×3×4＝24當(dāng)n＝4時(shí)，3n＝81,?。╪＋1）！＝1×2×3×4×5＝120當(dāng)n＝5時(shí)，3n＝243,　（n＋1）?。?！＝720　　

4、……　猜想其結(jié)論是：當(dāng)n＝1，2，3時(shí)，3n＞（n＋1）！，當(dāng)n>3時(shí)3n＜（n＋1）！。例3　求適合等式x1+x2+x3＋…+x2003=x1x2x3…x2003的正整數(shù)解?！》治觯哼@2003個(gè)正整數(shù)的和正好與它們的積相等，要確定每一個(gè)正整數(shù)的值，我們采用經(jīng)驗(yàn)歸納法從2個(gè)，3個(gè)，4個(gè)……直到發(fā)現(xiàn)規(guī)律為止。　解：x1+x2=x1x2的正整數(shù)解是x1=x2=2x1+x2+x3=x1x2x3的正整數(shù)解是x1=1,x2=2,x3=3x1+x2+x3+x4=x1x2x3x4的正整數(shù)解是x1=x2=1,x3=2,x4=4x1+x2+x3+x4+x5=x1x2x3x4x5的正整數(shù)解是x1=x2=x

5、3=1,x4=2,x5=5x1+x2+x3+x4+x5+x6=x1x2x3x4x5x6的正整數(shù)解是x1=x2=x3=x4=1,x5=2,x6=6…………由此猜想結(jié)論是：適合等式x1+x2+x3＋…+x2003=x1x2x3…x2003的正整數(shù)解為x1=x2=x3＝……=x2001=1,　x2002=2，　x2003=2003。丙練習(xí)141．除以3余1的正整數(shù)中，一位數(shù)有＿＿個(gè)，二位數(shù)有＿＿個(gè)，三位數(shù)有＿＿個(gè)，n位數(shù)有＿＿＿＿個(gè)。2．十進(jìn)制的兩位數(shù)可記作10a1＋a2,三位數(shù)記作100a1+10a2+a3,四位數(shù)記作＿＿＿＿，n位數(shù)＿＿＿記作＿＿＿＿＿＿3．由13＋23＝（1＋2）2，1

6、3＋23＋33＝（1＋2＋3）2，13＋23＋33＋43＝（＿＿＿）2,13＋＿＿＿＿＿＿＝152，13＋23＋…＋n3=()2。4．用經(jīng)驗(yàn)歸納法猜想下列各數(shù)的結(jié)論（是什么正整數(shù)的平方）①＝（＿＿＿）2；；－＝（?。撸撸?。②＝（＿＿＿＿）2；＝（＿＿＿）2351．把自然數(shù)1到100一個(gè)個(gè)地排下去：123……91011……99100①這是一個(gè)幾位數(shù)？②這個(gè)數(shù)的各位上的各個(gè)數(shù)字和是多少6．計(jì)算＋＋＋…＋＝?。ㄌ崾景衙總€(gè)分?jǐn)?shù)寫成兩個(gè)分?jǐn)?shù)的差）7．a(chǎn)是正整數(shù)，試比較aa+1和(a+1)a的大小.8．.如圖把長方形的四條邊涂上紅色，然后把寬3等分，把長8等分，分成24個(gè)小長方形，那么這24個(gè)長

7、方形中，兩邊涂色的有＿＿個(gè)，一邊涂色的有＿＿個(gè)，四邊都不著色的有＿＿個(gè)。本題如果改為把寬m等分,長n等分(m,n都是大于1的自然數(shù))那么這mn個(gè)長方形中，兩邊涂色的有＿＿個(gè)，一邊涂色的有＿＿個(gè)，四邊都不著色的有＿＿個(gè)9．把表面涂有紅色的正方體的各棱都4等分，切成64個(gè)小正方體，那么這64個(gè)中，三面涂色的有＿＿個(gè)，兩面涂色的有＿＿＿個(gè)，一面涂色的有＿＿＿個(gè)，四面都不涂色的有＿＿＿＿個(gè)。本題如果改為把長m等分,寬n等分,高p等分，（m,n,p都是大