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《初中數學競賽輔導資料（14）經驗歸納法》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在教育資源-天天文庫。
1、初中數學競賽輔導資料（14）經驗歸納法甲內容提要1．通常我們把“從特殊到一般”的推理方法、研究問題的方法叫做歸納法。通過有限的幾個特例，觀察其一般規(guī)律，得出結論，它是一種不完全的歸納法，也叫做經驗歸納法。例如①由(－1)2＝1，（－1）3＝－1，（－1）4＝1，……，歸納出－1的奇次冪是－1，而－1的偶次冪是1。②由兩位數從10到99共90個（9×10），三位數從100到999共900個（9×102），四位數有9×103＝9000個（9×103），…………歸納出n位數共有9×10n-1(個)③由1
2、+3=22,1+3+5=32,1+3+5+7=42……推斷出從1開始的n個連續(xù)奇數的和等于n2等。可以看出經驗歸納法是獲取新知識的重要手段，是知識攀緣前進的階梯。2.經驗歸納法是通過少數特例的試驗，發(fā)現規(guī)律，猜想結論，要使規(guī)律明朗化，必須進行足夠次數的試驗。由于觀察產生的片面性，所猜想的結論，有可能是錯誤的，所以肯定或否定猜想的結論，都必須進行嚴格地證明。（到高中，大都是用數學歸納法證明）乙例題例1平面內n條直線，每兩條直線都相交，問最多有幾個交點？解：兩條直線只有一個交點，12第3條直線和前兩條
3、直線都相交，增加了2個交點，得1＋23第4條直線和前3條直線都相交，增加了3個交點，得1＋2＋3第5條直線和前4條直線都相交，增加了4個交點，得1＋2＋3＋4………第n條直線和前n－1條直線都相交，增加了n－1個交點由此斷定n條直線兩兩相交，最多有交點1＋2＋3＋……n－1（個），這里n≥2，其和可表示為［1+（n+1）］×,即個交點。例2．符號n！表示正整數從1到n的連乘積，讀作n的階乘。例如5?。?×2×3×4×5。試比較3n與（n+1）！的大?。╪是正整數）解：當n＝1時，3n＝3,（n＋1
4、）?。?×2＝2當n＝2時，3n＝9，（n＋1）?。?×2×3＝6當n＝3時，3n＝27,（n＋1）?。?×2×3×4＝24當n＝4時，3n＝81,（n＋1）?。?×2×3×4×5＝120當n＝5時，3n＝243,（n＋1）?。??。?20……猜想其結論是：當n＝1，2，3時，3n＞（n＋1）！，當n>3時3n＜（n＋1）！。例3求適合等式x1+x2+x3＋…+x2003=x1x2x3…x2003的正整數解。分析：這2003個正整數的和正好與它們的積相等，要確定每一個正整數的值，我們采用經驗歸納法
5、從2個，3個，4個……直到發(fā)現規(guī)律為止。解：x1+x2=x1x2的正整數解是x1=x2=2x1+x2+x3=x1x2x3的正整數解是x1=1,x2=2,x3=3x1+x2+x3+x4=x1x2x3x4的正整數解是x1=x2=1,x3=2,x4=4x1+x2+x3+x4+x5=x1x2x3x4x5的正整數解是x1=x2=x3=1,x4=2,x5=5x1+x2+x3+x4+x5+x6=x1x2x3x4x5x6的正整數解是x1=x2=x3=x4=1,x5=2,x6=6…………由此猜想結論是：適合等式x1
6、+x2+x3＋…+x2003=x1x2x3…x2003的正整數解為x1=x2=x3＝……=x2001=1,x2002=2，x2003=2003。丙練習141．除以3余1的正整數中，一位數有＿＿個，二位數有＿＿個，三位數有＿＿個，n位數有＿＿＿＿個。2．十進制的兩位數可記作10a1＋a2,三位數記作100a1+10a2+a3,四位數記作＿＿＿＿，n位數＿＿＿記作＿＿＿＿＿＿3．由13＋23＝（1＋2）2，13＋23＋33＝（1＋2＋3）2，13＋23＋33＋43＝（＿＿＿）2,13＋＿＿＿＿＿＿＝1
7、52，13＋23＋…＋n3=()2。4．用經驗歸納法猜想下列各數的結論（是什么正整數的平方）①＝（＿＿＿）2；；－＝（＿＿）2。②＝（＿＿＿＿）2；＝（＿＿＿）21．把自然數1到100一個個地排下去：123……91011……99100①這是一個幾位數？②這個數的各位上的各個數字和是多少6．計算＋＋＋…＋＝（提示把每個分數寫成兩個分數的差）7．a是正整數，試比較aa+1和(a+1)a的大小.8．.如圖把長方形的四條邊涂上紅色，然后把寬3等分，把長8等分，分成24個小長方形，那么這24個長方形中，兩邊
8、涂色的有＿＿個，一邊涂色的有＿＿個，四邊都不著色的有＿＿個。本題如果改為把寬m等分,長n等分(m,n都是大于1的自然數)那么這mn個長方形中，兩邊涂色的有＿＿個，一邊涂色的有＿＿個，四邊都不著色的有＿＿個9．把表面涂有紅色的正方體的各棱都4等分，切成64個小正方體，那么這64個中，三面涂色的有＿＿個，兩面涂色的有＿＿＿個，一面涂色的有＿＿＿個，四面都不涂色的有＿＿＿＿個。本題如果改為把長m等分,寬n等分,高p等分，（m,n,p都是大于2的自然數）那么這mnp個正方體中，三面涂色的有
