揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)是數(shù)學(xué)教學(xué)的靈魂

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1、揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)是數(shù)學(xué)教學(xué)的靈魂——從“任意角的三角函數(shù)”的教學(xué)案例談起張健（江蘇省邳州市教育局教研室）《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》明確指出：“形式化是數(shù)學(xué)的基本特征之一。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)習(xí)形式化的表達是一項基本要求，但是不能只限于形式化的表達，要強調(diào)對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認識，否則會將生動活潑的數(shù)學(xué)思維活動淹沒在形式化的海洋里……高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)該返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì)?！边@一理念要求教師在教學(xué)中要揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)。本人認為：揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)是數(shù)學(xué)教學(xué)的靈魂。而在實際教學(xué)中，許多教師由于對所教授知識的數(shù)學(xué)本質(zhì)感悟不深、理解不透，導(dǎo)致教學(xué)變成了漫無目的、信馬由韁的活動——

2、沒有靈魂，徒具形式！下面針對這些問題，從所聽的一節(jié)公開課“任意角的三角函數(shù)”談起，并試圖通過案例分析和重新設(shè)計，談?wù)勗跀?shù)學(xué)教學(xué)中如何揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)的問題，愿與同行磋商。一、教學(xué)案例圖1師：在初中我們學(xué)習(xí)了銳角，并且研究了銳角三角函數(shù)。上節(jié)課我們把銳角推廣到了任意角，接下來我們應(yīng)該研究什么？生：任意角的三角函數(shù)。師：如圖1，OA、OB分別是角α的始邊和終邊，怎樣定義任意角α的三角函數(shù)呢？生1：連接AB，過點B作BC⊥OA，垂足為C，仿照銳角三角函數(shù)的定義可以定義任意角α的三角函數(shù)為sinα=,cosα=,tanα=。師：A、B兩點怎么來的？生1：分別在OA、OB上任意取的。師：O點能取嗎

3、？生1：這……（教師用幾何畫板演示角α的任意性，并組織學(xué)生繼續(xù)討論。）圖2生2：用角α的補角來定義。如圖2，在OB上任取一點E，過點E作EFOA交AO的延長線于點F。在Rt△OFE中，可以定義sinα=,cosα=,tanα=。（學(xué)生誤認為鈍角∠AOB就是角α。）師：角α的補角是誰？生2：∠EOF是角α的補角。師：她說的有問題嗎？圖3生3：角α不一定是鈍角，它是任意角，只是角α的終邊在那個位置上！生（驚訝地）：對呀！它不一定有補角啊!生4：我是在平面直角坐標(biāo)系下定義任意角的正弦的。（在黑板上畫圖3說明。）生4：以點O為原點，以始邊OA為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系。然后在OB上任取一點P

4、(x,y)，于是類比銳角三角函數(shù)-5-，我們可以定義任意角的三角函數(shù)為sinα=,cosα=,tanα=。師：很好！這樣做擺脫了直角三角形的限制，對任意的角都是適用的，因此這樣定義任意角的正弦是比較“和諧”的。（教師用幾何畫板動畫演示，然后板書任意角的三角函數(shù)的定義。）師：定義中是否需要限制什么條件？生5：我覺得x≠0，否則tanα沒有意義了！師：這個條件針對角α應(yīng)該怎樣限制呢？生5：角α的終邊不能落在y軸上。師：這需要把什么樣的角去掉呢？生6：x≠90°+k·180°(k∈Z)。師：我們昨天學(xué)習(xí)了弧度制，那這個條件還可以怎樣表示呀？生6：x≠+kπ(k∈Z)?！?、案例分析在本教

5、學(xué)案例中，教師試圖通過對初中所學(xué)習(xí)的“銳角三角函數(shù)”的概念的復(fù)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生對如何定義“任意角的三角函數(shù)”的概念展開探究，從而突出“概念的形成過程”。從教學(xué)的視角看，這節(jié)課的教學(xué)理念新穎，數(shù)學(xué)活動充分調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，學(xué)生的參與度高，課堂氣氛熱烈，教學(xué)民主，學(xué)生的主體地位得到了很好的體現(xiàn)。但從數(shù)學(xué)的視角看，這節(jié)課的教學(xué)沒有抓住數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，特別是當(dāng)學(xué)生的思維“離經(jīng)叛道”時，教師沒有很好地進行引導(dǎo)，使數(shù)學(xué)活動向著有意義的方向進行，從而導(dǎo)致概念形成過程教學(xué)變成了信馬由韁的活動，學(xué)生在“蒙”和“碰”中前行，漫無目的。問題產(chǎn)生的主要原因是教師沒有透徹地領(lǐng)悟概念的本質(zhì)，教學(xué)抓不住“本質(zhì)”

6、就會變得無的放矢。在本案例中，雖然生4對“任意角的三角函數(shù)”的定義給出了比較完美的回答，但這絕不是該生在理解和感悟的基礎(chǔ)上給出的。生4的回答可能基于兩個原因：一是該生可能是受前面學(xué)習(xí)的“任意角”的概念（是在平面直角坐標(biāo)系中研究任意角的）的啟發(fā)，從而產(chǎn)生了聯(lián)想；二是該生可能在課前進行了預(yù)習(xí)，了解了概念的定義方法?？傊?，生4比較完美的回答，并不是教師在有效預(yù)設(shè)的基礎(chǔ)上所產(chǎn)生的動態(tài)生成。應(yīng)該說，學(xué)生對概念的本質(zhì)還不清楚，對概念的理解還很模糊。我們之所以要定義一個數(shù)學(xué)概念，無非是出于兩個原因：一是它（指數(shù)學(xué)概念）具有一定的合理性，這種合理性指的就是數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性；二是它有用，正因為它有用

7、，我們才有必要去定義它（為了使用方便）。那么，“任意角的三角函數(shù)”概念的本質(zhì)是什么呢？我們不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)角α固定后（也就是角α的始邊和終邊可視為固定），若以它的頂點O為原點，以角α的始邊為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則不論我們在角α的終邊上如何取一點P(x,y)，總有比值（其中r＝OP）是三個定值，這三個比值不隨點P的變化而變化，這就是“任意角的三角函數(shù)”概念的本質(zhì)。實際上，初中學(xué)習(xí)的“銳角三角函數(shù)”概念的本質(zhì)也在于此：當(dāng)銳角α固定后，我們以角α的兩邊為邊可以