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1、線性相關和回歸趙耐青在實際研究中，經常要考察兩個指標之間的關系，即：相關性?，F(xiàn)以體重與身高的關系為例，分析兩個變量之間的相關性。要求身高和體重呈雙正態(tài)分布，既：在身高和體重平均數(shù)的附近的頻數(shù)較多，遠離身高和體重平均數(shù)的頻數(shù)較少。樣本相關系數(shù)計算公式(稱為Pearson相關系數(shù))：(1)1.考察隨機模擬相關的情況。顯示兩個變量相關的散點圖程序simur.ado（本教材配套程序,使用見前言）。命令為simur樣本量總體相關系數(shù)如顯示樣本量為100，r=0的散點圖本例命令為simur1000如顯示樣本量為200，r=0.8的散
2、點圖本例命令為simur2000.8如顯示樣本量為200，r=0.99的散點圖本例命令為simur2000.99如顯示樣本量為200，r=-0.99的散點圖本例命令為simur200-0.99例1.測得某地15名正常成年男子的身高x（cm）、體重y（kg）如試計算x和y之間的相關系數(shù)r并檢驗H0：r＝0vsH1:r10。a=0.05數(shù)據格式為XY171.058.0176.069.0175.074.0172.068.0170.064.0173.068.5168.056.0172.054.0170.062.0172.063.
3、0173.067.0168.060.0171.068.0172.076.0173.065.0Stata命令pwcorr變量1變量2…變量m，sig本例命令pwcorrxy,sigpwcorrxy,sig
4、xy-------------+------------------x
5、1.0000
6、
7、y
8、0.59941.0000
9、0.0182
10、Pearson相關系數(shù)=0.5994，P值=0.0182<0.05，因此可以認為身高與體重呈正線性相關。注意：Pearson相關系數(shù)又稱為線性相關系數(shù)并且要求X和Y雙正態(tài)分布，通常在檢查中要
11、求X服從正態(tài)分布并且Y服從正態(tài)分布。如果不滿足雙正態(tài)分布時，可以計算Spearman相關系數(shù)又稱為非參數(shù)相關系數(shù)。Spearman相關系數(shù)的計算基本思想為：用X和Y的秩代替它們的原始數(shù)據，然后代入Pearson相關系數(shù)的計算公式并且檢驗與Pearson相關系數(shù)類同。Stata實現(xiàn)spearmanxyNumberofobs=15Spearman'srho=0.6552TestofHo:xandyareindependentProb>
12、t
13、=0.0080stata計算結果與手算的結果一致。結論為身高與體重呈正相關，并且有統(tǒng)計
14、學意義。直線回歸例2為了研究3歲至8歲男孩身高與年齡的規(guī)律，在某地區(qū)在3歲至8歲男孩中隨機抽樣，共分6個年齡層抽樣：3歲，4歲，…，8歲，每個層抽10個男孩，共抽60個男孩。資料如下：60個男孩的身高資料如下年齡3歲4歲5歲6歲7歲8歲身高92.596.5106.0115.5125.5121.597.0101.0104.0115.5117.5128.596.0105.5107.0111.5118.0124.096.5102.0109.5110.0117.0125.597.0105.0111.0114.5122.0122.
15、592.099.5107.5112.5119.0123.596.5102.0107.0116.5119.0120.591.0100.0111.5110.0125.5123.096.0106.5103.0114.5120.5124.099.0100.0109.0110.0122.0126.5平均身高95.4101.8107.6113.1120.6124.0由于男孩的身高與年齡有關系，不同的年齡組的平均身高是不同的，由平均身高與年齡作圖可以發(fā)現(xiàn)：年齡與平均身高的點在一條直線附近。考慮到樣本均數(shù)存在抽樣誤差，故有理由認為身高的
16、總體均數(shù)與年齡的關系可能是一條直線關系，其中y表示身高，x表示年齡。由于身高的總體均數(shù)與年齡有關，所以更正確地標記應為表示在固定年齡情況下的身高總體均數(shù)。上述公式稱為直線回歸方程。其中b為回歸系數(shù)（regressioncoefficient），或稱為斜率（slope）；a稱為常數(shù)項（constant），或稱為截距（intercept）?；貧w系數(shù)b表示x變化一個單位y平均變化b個單位。當x和y都是隨機的，x、y間呈正相關時b>0，x、y間呈負相關時b<0，x、y間獨立時b=0。一般情況而言，參數(shù)a和b是未知的。對于本例而言
17、，不同民族和不同地區(qū)，a和b往往是不同的，因此需要進行估計的。由于不同年齡的身高實際觀察值應在對應的身高總體均數(shù)附近(即：實際觀察值與總體均數(shù)之間僅存在個體變異的差異)，故可以用年齡和實際身高觀察值的資料對未知參數(shù)a和b進行估計。得到樣本估計的回歸方程二、直線回歸方程的建立直線回歸分析的Stata實現(xiàn)：數(shù)據結構：xy
