2012年高考數(shù)學(xué)最后沖刺——反證法突破

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1、反證法突破與前面所講的方法不同，反證法是屬于“間接證明法”一類(lèi)，是從反面的角度思考問(wèn)題的證明方法，即：肯定題設(shè)而否定結(jié)論，從而導(dǎo)出矛盾推理而得。法國(guó)數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪(Hadamard)對(duì)反證法的實(shí)質(zhì)作過(guò)概括：“若肯定定理的假設(shè)而否定其結(jié)論，就會(huì)導(dǎo)致矛盾”。具體地講，反證法就是從否定命題的結(jié)論入手，并把對(duì)命題結(jié)論的否定作為推理的已知條件，進(jìn)行正確的邏輯推理，使之得到與已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題等相矛，矛盾的原因是假設(shè)不成立，所以肯定了命題的結(jié)論，從而使命題獲得了證明。反證法所依據(jù)的是邏輯思維規(guī)律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思維過(guò)程中，兩個(gè)互相矛盾的判斷不

2、能同時(shí)都為真，至少有一個(gè)是假的，這就是邏輯思維中的“矛盾律”；兩個(gè)互相矛盾的判斷不能同時(shí)都假，簡(jiǎn)單地說(shuō)“A或者非A”，這就是邏輯思維中的“排中律”。反證法在其證明過(guò)程中，得到矛盾的判斷，根據(jù)“矛盾律”，這些矛盾的判斷不能同時(shí)為真，必有一假，而已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題都是真的，所以“否定的結(jié)論”必為假。再根據(jù)“排中律”，結(jié)論與“否定的結(jié)論”這一對(duì)立的互相否定的判斷不能同時(shí)為假，必有一真，于是我們得到原結(jié)論必為真。所以反證法是以邏輯思維的基本規(guī)律和理論為依據(jù)的，反證法是可信的。反證法的證題模式可以簡(jiǎn)要的概括我為“否定→推理→否定”。即從否定結(jié)論開(kāi)始，經(jīng)過(guò)正

3、確無(wú)誤的推理導(dǎo)致邏輯矛盾，達(dá)到新的否定，可以認(rèn)為反證法的基本思想就是“否定之否定”。應(yīng)用反證法證明的主要三步是：否定結(jié)論→推導(dǎo)出矛盾→結(jié)論成立。實(shí)施的具體步驟是：第一步，反設(shè)：作出與求證結(jié)論相反的假設(shè)；第二步，歸謬：將反設(shè)作為條件，并由此通過(guò)一系列的正確推理導(dǎo)出矛盾；第三步，結(jié)論：說(shuō)明反設(shè)不成立，從而肯定原命題成立。在應(yīng)用反證法證題時(shí)，一定要用到“反設(shè)”進(jìn)行推理，否則就不是反證法。用反證法證題時(shí)，如果欲證明的命題的方面情況只有一種，那么只要將這種情況駁倒了就可以，這種反證法又叫“歸謬法”；如果結(jié)論的方面情況有多種，那么必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷原結(jié)論成立，這種證法又叫“

4、窮舉法”。在數(shù)學(xué)解題中經(jīng)常使用反證法，牛頓曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“反證法是數(shù)學(xué)家最精當(dāng)?shù)奈淦髦弧薄Ｒ话銇?lái)講，反證法常用來(lái)證明的題型有：命題的結(jié)論以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“無(wú)限”形式出現(xiàn)的命題；或者否定結(jié)論更明顯。具體、簡(jiǎn)單的命題；或者直接證明難以下手的命題，改變其思維方向，從結(jié)論入手進(jìn)行反面思考，問(wèn)題可能解決得十分干脆。SCAOB例1.如圖，設(shè)SA、SB是圓錐SO的兩條母線，O是底面圓心，C是SB上一點(diǎn)。求證：AC與平面SOB不垂直?！痉治觥拷Y(jié)論是“不垂直”，呈“否定性”，考慮使用反證法，即假設(shè)“垂直”后再導(dǎo)出矛盾后，再肯定“不垂直”?！咀ⅰ糠穸ㄐ缘膯?wèn)題常用反證法。例如

5、證明異面直線，可以假設(shè)共面，再把假設(shè)作為已知條件推導(dǎo)出矛盾。例2.若下列方程：x＋4ax－4a＋3＝0，x＋(a－1)x＋a＝0,x＋2ax－2a＝0至少有一個(gè)方程有實(shí)根。試求實(shí)數(shù)a的取值范圍?！痉治觥咳齻€(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)根的反面情況僅有一種：三個(gè)方程均沒(méi)有實(shí)根。先求出反面情況時(shí)a的范圍，再所得范圍的補(bǔ)集就是正面情況的答案。所以當(dāng)a≥－1或a≤－時(shí)，三個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)根?！咀ⅰ俊爸辽佟?、“至多”問(wèn)題經(jīng)常從反面考慮，有可能使情況變得簡(jiǎn)單。本題還用到了“判別式法”、“補(bǔ)集法”（全集R），也可以從正面直接求解，即分別求出三個(gè)方程有實(shí)根時(shí)（△≥0）a的取值范圍，再將三個(gè)范圍并

6、起來(lái)，即求集合的并集。兩種解法，要求對(duì)不等式解集的交、并、補(bǔ)概念和運(yùn)算理解透徹。例3.給定實(shí)數(shù)a，a≠0且a≠1，設(shè)函數(shù)y＝(其中x∈R且x≠)，證明：①.經(jīng)過(guò)這個(gè)函數(shù)圖像上任意兩個(gè)不同點(diǎn)的直線不平行于x軸；②.這個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于直線y＝x成軸對(duì)稱(chēng)圖像?！痉治觥俊安黄叫小钡姆穸ㄊ恰捌叫小?，假設(shè)“平行”后得出矛盾從而推翻假設(shè)。即原函數(shù)y＝的反函數(shù)為y＝，圖像一致。由互為反函數(shù)的兩個(gè)圖像關(guān)于直線y＝x對(duì)稱(chēng)可以得到，函數(shù)y＝的圖像關(guān)于直線y＝x成軸對(duì)稱(chēng)圖像?！咀ⅰ繉?duì)于“不平行”的否定性結(jié)論使用反證法，在假設(shè)“平行”的情況下，容易得到一些性質(zhì)，經(jīng)過(guò)正確無(wú)誤的推理，導(dǎo)出與已知a≠1互相矛盾。

7、第②問(wèn)中，對(duì)稱(chēng)問(wèn)題使用反函數(shù)對(duì)稱(chēng)性進(jìn)行研究，方法比較巧妙，要求對(duì)反函數(shù)求法和性質(zhì)運(yùn)用熟練?！緦?zhuān)題訓(xùn)練】1.已知函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)，則方程f(x)＝0______。A.至多一個(gè)實(shí)根B.至少一個(gè)實(shí)根C.一個(gè)實(shí)根D.無(wú)實(shí)根2.已知a<0,－1ab>abB.ab>ab>aC.ab>a>abD.ab>ab>a1.已知α∩β＝l，aα，bβ，若a、b為異面直線，則_____。A.a、b都與l相交B.a、