第三講：數(shù)列求通項(xiàng)

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1、幾種常見的數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式的求法一、公式法當(dāng)已知數(shù)列為等差或等比數(shù)列時(shí)，可直接利用等差或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，只需求得首項(xiàng)及公差公比。例1：已知數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，若函數(shù)f(x)=(x－1)2，且a1=f(d－1)，a3=f(d+1)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；例2.等差數(shù)列是遞減數(shù)列，且=48，=12，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是（）(A)(B)(C)(D)二、??疊加法一般地，對于型如類的通項(xiàng)公式，只要能進(jìn)行求和，則宜采用此方法求解。例3：已知數(shù)列6，9，14，21，30，…求此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)。例4.若在數(shù)列中，，，求通項(xiàng)。練習(xí)、已知數(shù)列｛an｝滿足

2、,證明三、疊乘法一般地，對于型如=(n)·類的通項(xiàng)公式，當(dāng)?shù)闹悼梢郧蟮脮r(shí)，宜采用此方法。例5：在數(shù)列｛｝中，=1,(n+1)·=n·，求的表達(dá)式。四、Sn法利用(≥2)例6：已知下列兩數(shù)列的前n項(xiàng)和sn的公式，求的通項(xiàng)公式。（1）點(diǎn)評：要先分n=1和兩種情況分別進(jìn)行運(yùn)算，然后驗(yàn)證能否統(tǒng)一。已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，,且Sn的最大值為8.（1）確定常數(shù)k，求an；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn。例7.已知數(shù)列中，，前項(xiàng)和與的關(guān)系是，試求通項(xiàng)公式。練習(xí)：1、已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列滿足：a2+a4=20,a3=8.???(I)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；??（II）若數(shù)列的前n項(xiàng)和

3、為,且成立的正整數(shù)n的最小值。2.已知是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，是等比數(shù)列，且，.（Ⅰ）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記，，證明（）.（一）公式法（恒等式法）：利用已知的求和公式來求和，如等差數(shù)列與等比數(shù)列求和公式，再如、等公式。例1．求數(shù)列1+4+7+………+，變式題：求數(shù)列2，，，，……的前項(xiàng)的和（二）錯(cuò)位相減法：這是推導(dǎo)等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列的前項(xiàng)和，其中、分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列。例3．求數(shù)列的前項(xiàng)和。變式題：已知數(shù)列中，，求數(shù)列的前項(xiàng)和。（三）分組求和法：所謂分組求和法，即將一個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)拆成幾項(xiàng)，轉(zhuǎn)化成特殊數(shù)列求和。例

4、4．已知數(shù)列滿足，求其前項(xiàng)和。變式題：已知數(shù)列中，，求數(shù)列的前項(xiàng)和（四）拆項(xiàng)（裂項(xiàng)）相消法：若數(shù)列能裂項(xiàng)成，即通項(xiàng)可分解為兩項(xiàng)之差，然后相加相消，最后只剩下有限項(xiàng)的和（即關(guān)于n的相鄰項(xiàng)，使展開后中間項(xiàng)能全部消去）。類型有：（1）（2）（3）例5．已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和變式題：已知數(shù)列中，，求數(shù)列的前項(xiàng)和作業(yè)選擇題：1、一個(gè)等差數(shù)列共有項(xiàng)，若前m項(xiàng)的和為100，前項(xiàng)的和為200，則前3項(xiàng)的和是A．B．C．D．3002、等比數(shù)列中，表示前項(xiàng)的積，若，則A．B．a(chǎn)3=1C．D．3、已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，公比，設(shè)，，則與的大小關(guān)系是A．B．C．D．無法確定4、

5、已知方程的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為的等差數(shù)列，則A．B．C．D．5、若a、b、c成等比數(shù)列，則函數(shù)f(x)＝ax2+bx+c的圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A．0B．1C．2D．不確定