浙工大 自控 電子教案

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1、自動(dòng)控制原理電子教案第9章最優(yōu)控制9.1最優(yōu)控制的概念設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為x&=f(x,u,t)(9.1)性能指標(biāo)的數(shù)學(xué)表達(dá)式一般可以表示為tfJ=θ[x(tf),tf]+∫L[x(t),u(t),t]dt(9.2)t0所謂最優(yōu)控制，就是要確定在[t0,tf]中的最優(yōu)控制u，將系統(tǒng)(9.1)的狀態(tài)從x(t0)轉(zhuǎn)移到x(tf)，或者x(tf)的一個(gè)集合，并使性能指標(biāo)(9.2)最優(yōu)。9.2變分法與泛函的極值條件1.泛函的概念如果對(duì)于自變量t，存在一類函數(shù){x(t)}，對(duì)于每個(gè)函數(shù)x(t)，有一個(gè)J值與之對(duì)應(yīng)，則變量J稱為依賴于函數(shù)x(t)的泛函數(shù)，簡(jiǎn)稱為泛函，記作J[x(t)]。如果泛函J

2、[x]滿足下列關(guān)系：J[ax]=aJ[x](9.3)J[x+y]=J[x]+J[y]式中，a是實(shí)數(shù)；x,y是函數(shù)空間中的函數(shù)，則泛函J是線性泛函。2.泛函的變分**泛函J[x(t)]的變量x(t)的變分δx，定義為δx=x(t)?x(t)，其中，x(t)為**一標(biāo)稱函數(shù)（即最優(yōu)控制中的最優(yōu)軌線），x(t)為x(t)鄰域內(nèi)與x(t)屬于同一函數(shù)類的某一函數(shù)。如果泛函J[x(t)]的增量?J[x(t),δx]=J[x(t)+δx]?J[x(t)](9.4)可以表示為如下形式?J[x(t),δx]=L[x(t),δx]+β[x(t),δx]δx(9.5)其中，L[x(t),δx]是δx的線

3、性泛函，且當(dāng)δx→0時(shí)，β[x(t),δx]→0，則線性泛函L[x(t),δx]稱為泛函J[x(t)]的變分（一階變分），記作δJ。由變分的定義可以看出，泛函的變分是一種線性映射，所以，它的運(yùn)算規(guī)則類似于函數(shù)的線性運(yùn)算。設(shè)F1和F2是x，x&和t的函數(shù)，則有如下的變分規(guī)則：（1）δ(F1+F2)=δF1+δF2（2）δ(F1F2)=F1δF2+F2δF1（3）δ∫F(x,x&,t)dt=∫δF(x,x&,t)dtd（4）δx&=δxdt3.泛函的極值若泛函J[x(t)]在x=x*(t)附近的任一曲線上的值不小于J[x*(t)]，即?J=J[x(t)]?J[x*(t)]≥0，則泛函J[

4、x(t)]在曲線x=x*(t)上達(dá)到極小值。浙江工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化研究所1自動(dòng)控制原理電子教案泛函J[x(t)]在曲線x=x*(t)上達(dá)到極小值的必要條件為（證明略）dδJ(x*,?x)=J(x*+ε?x)ε=0=0(9.6)dε在等式約束下的泛函極值問題，稱為條件泛函極值問題。對(duì)于條件泛函極值問題，可以應(yīng)用拉格朗日乘子法將其轉(zhuǎn)化為無約束條件極值問題。9.3變分法求解無約束最優(yōu)控制問題設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為x&(t)=f[x(t),u(t),t]x(t0)=x0(9.7)性能指標(biāo)為tfJ=θ[x(tf),tf]+∫L[x(t),u(t),t]dt(9.8)t0最優(yōu)控制問題就是以狀態(tài)方程（9.

5、7）為約束，確定使泛函（9.8）達(dá)到極值所要滿足的必要條件。在上面的最優(yōu)控制問題中，因?yàn)閷?duì)控制變量u(t)沒有約束，所以通常稱為無約束最優(yōu)控制問題。無約束最優(yōu)控制問題是一個(gè)求有等式約束的泛函極值問題，可以采用拉格朗日乘子法把有約束條件問題轉(zhuǎn)化為無約束條件問題。構(gòu)造增廣泛函為tfTJa=θ[x(tf),tf]+∫{L[x(t),u(t),t]+λ[f(x(t),u(t),t)?x&(t)]}dt(9.9)t0構(gòu)造哈密頓函數(shù)為TH(x,u,λ,t)=L(x,u,t)+λf(x,u,t)(9.10)n式中，λ∈R為拉格朗日乘子向量。則增廣泛函為Jθ[x(t),t]tf{H[x,u,λ,t]

6、λTx&}dta=ff+∫t?(9.11)0設(shè)初始時(shí)刻t0及其狀態(tài)給定為x(t0)=x0。根據(jù)終端狀態(tài)邊界條件，可按以下幾種情況討論1.tf給定，終端自由，即x(tf)任意增廣泛函Ja為tfTJ=θ[x(t)]+[H(x,u,λ,t)?λx&]dt(9.12)af∫t0取J的一階變分并令其為零，得a?θTtf?HT?HT?HTTTδJ=()δx+[()δx+()δu+()δλ?x&δλ?λδx&]dt=0at=tf∫t?x0?x?u?λ(9.13)由于tftfTTtfTλδx&dt=λδx?λ&δxdt(9.14)∫tt0∫t00將式（9.14）代入式（9.13），并注意到δx(t0

7、)=0，可得?θTtf?HT?HT?HTδJa=(?λ)δxtt+[(+λ&)δx+()δu+(?x&)δλ]dt=0(9.15)?x=f∫t?x?u?λ0由于在上式中，t，δx，δu和δλ都是任意的，并且相互獨(dú)立，所以，增廣性f能指標(biāo)泛函Ja的一階變分為零，即最優(yōu)控制問題（9.7），（9.8）取極值的必要條件為正則方程浙江工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化研究所2自動(dòng)控制原理電子教案?H(x,u,λ,t)狀態(tài)方程x&=(9.16)?λ?H(x,u,λ,t)伴隨方程λ&=?(