線段與差最值問(wèn)題

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1、.專(zhuān)題一.線段和（差）的最值問(wèn)題【知識(shí)依據(jù)】1．線段公理——兩點(diǎn)之間，線段最短；2．對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)——①關(guān)于一條直線對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形全等；②對(duì)稱(chēng)軸是兩個(gè)對(duì)稱(chēng)圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線；3．三角形兩邊之和大于第三邊；4．三角形兩邊之差小于第三邊；5、垂直線段最短。一、已知兩個(gè)定點(diǎn)：1、在一條直線m上，求一點(diǎn)P，使PA+PB最??；（1）點(diǎn)A、B在直線m兩側(cè)：（2）點(diǎn)A、B在直線同側(cè)：......A、A’是關(guān)于直線m的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。2、在直線m、n上分別找兩點(diǎn)P、Q，使PA+PQ+QB最小。（1）兩個(gè)點(diǎn)都在直線外側(cè)：（2）一個(gè)點(diǎn)在內(nèi)側(cè)，一個(gè)點(diǎn)在外側(cè)

2、：......（3）兩個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)側(cè)：......（4）、臺(tái)球兩次碰壁模型變式一：已知點(diǎn)A、B位于直線m,n的內(nèi)側(cè)，在直線n、m分別上求點(diǎn)D、E點(diǎn)，使得圍成的四邊形ADEB周長(zhǎng)最短.變式二：已知點(diǎn)A位于直線m,n的內(nèi)側(cè),在直線m、n分別上求點(diǎn)P、Q點(diǎn)PA+PQ+QA周長(zhǎng)最短.二、一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，一個(gè)定點(diǎn)：......（一）動(dòng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)：點(diǎn)B在直線n上運(yùn)動(dòng)，在直線m上找一點(diǎn)P，使PA+PB最小（在圖中畫(huà)出點(diǎn)P和點(diǎn)B）1、兩點(diǎn)在直線兩側(cè)：2、兩點(diǎn)在直線同側(cè)：......（二）動(dòng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)：點(diǎn)B在⊙O上運(yùn)動(dòng)，在直線m上找一點(diǎn)P，使PA+P

3、B最?。ㄔ趫D中畫(huà)出點(diǎn)P和點(diǎn)B）1、點(diǎn)與圓在直線兩側(cè)：2、點(diǎn)與圓在直線同側(cè)：......三、已知A、B是兩個(gè)定點(diǎn)，P、Q是直線m上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P在Q的左側(cè),且PQ間長(zhǎng)度恒定,在直線m上要求P、Q兩點(diǎn)，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知識(shí)解)（1）點(diǎn)A、B在直線m兩側(cè)：過(guò)A點(diǎn)作AC∥m,且AC長(zhǎng)等于PQ長(zhǎng)，連接BC,交直線m于Q,Q向左移動(dòng)PQ長(zhǎng)，即為P點(diǎn)，此時(shí)P、Q即為所求的點(diǎn)。（2）點(diǎn)A、B在直線m同側(cè)：......四、求兩線段差的最大值問(wèn)題(運(yùn)用三角形兩邊之差小于第三邊)1、在一條直線m上，求一點(diǎn)P，使PA與PB的差最

4、大；（1）點(diǎn)A、B在直線m同側(cè)：（2）點(diǎn)A、B在直線m異側(cè)：過(guò)B作關(guān)于直線m的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B’,連接AB’交點(diǎn)直線m于P,此時(shí)PB=PB’，PA-PB最大值為AB’......Ⅰ．專(zhuān)題精講最值問(wèn)題是一類(lèi)綜合性較強(qiáng)的問(wèn)題，而線段和（差）問(wèn)題，要?dú)w歸于幾何模型：（1）歸于“兩點(diǎn)之間的連線中，線段最短”凡屬于求“變動(dòng)的兩線段之和的最小值”時(shí)，大都應(yīng)用這一模型．（2）歸于“三角形兩邊之差小于第三邊”凡屬于求“變動(dòng)的兩線段之差的最大值”時(shí)，大都應(yīng)用這一模型．Ⅱ．典型例題剖析一．歸入“兩點(diǎn)之間的連線中，線段最短”Ⅰ．“飲馬”幾何模型：條件：如下左圖

5、，A、B是直線l同旁的兩個(gè)定點(diǎn)．問(wèn)題：在直線l上確定一點(diǎn)P，使PA＋PB的值最?。Ｐ蛻?yīng)用：1．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為AB的中點(diǎn)，P是AC上一動(dòng)點(diǎn)．則PB+PE的最小值是．2．如圖，⊙O的半徑為2，點(diǎn)A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一動(dòng)點(diǎn)，則PA+PC的最小值是．3．如圖，在銳角△ABC中，AB＝42，∠BAC＝45°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，M、N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是．......第1題第2題第3題第4題4．如圖，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，

6、AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，點(diǎn)P是AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PC＋PD的和最小時(shí)，PB的長(zhǎng)為_(kāi)_________．5．如圖，等腰梯形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，∠ABC＝60°，P是上底，下底中點(diǎn)EF直線上的一點(diǎn)，則PA+PB的最小值為?????????????．第5題第6題第7題6．如圖，MN是半徑為1的⊙O的直徑，點(diǎn)A在⊙O上，∠AMN＝30°，B為AN弧的中點(diǎn)，P是直徑MN上一動(dòng)點(diǎn)，則PA＋PB的最小值為?????????????．7．已知A(－2，3)，B(3，1)，P點(diǎn)在x軸上，若PA＋PB長(zhǎng)度最小，則最小值

7、為????????????．若PA—PB長(zhǎng)度最大，則最大值為????????????．8．已知：如圖所示，拋物線y＝－x2＋bx＋c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A(1，0)，B(3，0)．（1）求拋物線的解析式；......（2）設(shè)點(diǎn)P在該拋物線上滑動(dòng)，且滿足條件S△PAB＝1的點(diǎn)P有幾個(gè)？并求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）設(shè)拋物線交y軸于點(diǎn)C，問(wèn)該拋物線對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)M，使得△MAC的周長(zhǎng)最??？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．Ⅱ．臺(tái)球兩次碰壁模型已知點(diǎn)A位于直線m，n的內(nèi)側(cè)，在直線m、n分別上求點(diǎn)P、Q點(diǎn)，使PA+PQ+Q

8、A周長(zhǎng)最短.......變式：已知點(diǎn)A、B位于直線m，n的內(nèi)側(cè)，在直線m、n分別上求點(diǎn)D、E點(diǎn)，使得圍成的四邊形ADEB周長(zhǎng)最短.模型應(yīng)用：1．如圖，∠AOB=45°，P是∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，PO=10，Q、R分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，求△PQR周長(zhǎng)的