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《評_點集拓撲學(xué)基礎(chǔ)_new》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、第卷第欺數(shù)學(xué)研究與評論。。人年月萬評《點集拓撲學(xué)基礎(chǔ)》王國俊趙東升陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)系,,最近我們讀了吳東興先生著的《點集拓撲學(xué)基礎(chǔ)下稱《基礎(chǔ)》一書有幾點不成熟,。的意見愿在此提出和昊先生商榷、一關(guān)于新體系問題,,,眾所周知點集拓撲學(xué)從產(chǎn)生到現(xiàn)在經(jīng)過了很長的發(fā)展過程數(shù)學(xué)家們的辛勤勞動巳,“經(jīng)使它成為一門成熟的數(shù)學(xué)分支所以當(dāng)我們看到作者在《基礎(chǔ)》一書的前言里聲稱本,,書建立新體系試圖使邏輯嚴格性與直觀明顯性結(jié)合起來尤其注意從馬克思主義認識論”,,。的角度進行闡述不由得就對本書產(chǎn)生了極大的興趣很想從中學(xué)得一些新東西然而?！啊笨聪氯サ慕Y(jié)果卻令人大失所望我們
2、發(fā)現(xiàn)作者的新體系不過是把若干經(jīng)科學(xué)實踐定型,,的重要概念的名稱進行了更換而這種更換本身在理論上毫無深意在應(yīng)用上只會引起混。亂。。,拓撲的定義這是一個貫穿于全書始終的最重要的概念在《基礎(chǔ)》一書里拓撲“,,,人任的概念是由下述定義給出的定義設(shè)是任一個集合而了是的任一,子集族當(dāng)且僅當(dāng)〔〕,人〔〔〕對于任意,幾〔,‘,幾〔,,‘幾如果〔自則存在使任,,,,,與了一起組成一拓撲空間記為了稱為以為基集以了為拓撲結(jié)構(gòu)的拓撲”,,空間因為緊接著在例例和例中作者又把滿足條件〔」和〔」的集族稱為,“”“”拓撲可見作者是把上述定義中所說的拓撲結(jié)構(gòu)與拓撲不加區(qū)別的我們知,
3、,,“”“”。道按照通常意義滿足條件〔」〔幻的集族叫拓撲基而不叫拓撲這樣給出“”,拓撲的定義是《基礎(chǔ)》一書新體系中主要之點當(dāng)然如果這樣改換一下名詞確實能,,,。,使處理問題變得簡潔明燎更能刻劃問題本質(zhì)那么這樣做也未嘗不可然而事實卻。遠非如此,,,首先我們認為這樣做會引起很大混亂特別是對于初學(xué)者從本書所涉及的內(nèi)容看。,。也只能供初學(xué)用到目前為止絕大多數(shù)的點集拓撲學(xué)的書都把開集的全體叫拓撲這年月。日收到數(shù)學(xué)研究與評論年,,。,是經(jīng)過多年來不斷摸索反復(fù)改進才抽象出來的一個簡潔明燎的定義當(dāng)然這并不排,,,除可以用其它方法來講拓撲空間比如用閉包公理的方法鄰域
4、系的方法和用收斂類定,“”“”義拓撲的方法等等然而在已經(jīng)區(qū)分得明明白白的拓撲與拓撲基這兩個概念之,間輕率地用后者頂替前者恐怕會把初學(xué)者引人五里霧中如果有一個作者在其代數(shù)書中“”“”,,硬把群叫做環(huán)那么讀了這種書的學(xué)生和其它人就沒有共同語言無法交流了,,,事實上不用說初學(xué)者從《基礎(chǔ)》一書的幾處證明中可以看出連作者自己都被這個“”,新體系搞亂了如《基礎(chǔ)》一書的頁定義下面的,’拓撲空間的每一個基”“”,本鄰域都是開集本來按照新體系這是定義中規(guī)定了的而作者卻莫名其妙地證明了?！啊?好幾行這不正說明作者本人被自己的新體系搞糊涂了嗎類似的情況還有如定理的證明等
5、,“”,應(yīng)該指出在給出上述拓撲的定義之后在頁作者又給出了一個拓撲結(jié)構(gòu)的定,“”,義即通常用開集方式所引人的拓撲定義雖然作者強調(diào)它們的本質(zhì)是一樣的但由,,于這兩種拓撲結(jié)構(gòu)定義是不等價的而科學(xué)中每個概念的含義應(yīng)該是唯一確定的是不能含糊其詞的。不同的對象冠以同一個名詞也只會引起混亂,。,其實把拓撲基叫拓撲還有更大的弊病比如在講到第二可數(shù)公理時就遇到了麻?！啊?“”煩我們間如果一個拓撲具有可數(shù)基那么按作者定義的與之等價的其它拓撲,是否也有可數(shù)基呢雖然答案是肯定的但這是需要證明的比如口〕中就證明了這一事,,,實至少比本書中許多加以證明了的事實之論證更不明顯但
6、作者似乎沒有意識到《基,“礎(chǔ)》一書的關(guān)于第二可數(shù)公理的定義是隱藏著這個向題只是輕描淡寫的說了一句顯,”。然可數(shù)基的存在是拓撲不變的,,。,“這里我們指出用拓撲基代替拓撲確對某些定理的陳述可以簡化幾個字如為,”。使是緊的當(dāng)且僅當(dāng)從的每個由拓撲基中的開集組成的覆蓋中能選出有限子復(fù)蓋,,但這種簡化沒有什么實際收益而且就這個例子而言對可數(shù)緊性就不能做如上變通所“”,,巳以歸根結(jié)底還是離不開真正的拓撲全體開集之族這一概念事實上如上面,《基礎(chǔ)》一書不得不在第頁上重—新定義拓撲。提及的。,拓撲的等價性拓撲的等價性是拓撲中最基本的概念本來也是容易說明白的,,但書中
7、卻費了很大的篇幅討論這個問題而最后還是沒說清楚在書的頁作者指出“,,,因此我們要比較兩個拓撲結(jié)構(gòu)必須比較它們確定極限點的效果才不致被現(xiàn)象所迷”。惑然而接下去作者并沒有按照自己的這種想法去作在拓撲的等價性定義第頁及。“后來的一些結(jié)果中絲毫未涉及到極限點只是到最后才單方面的證明了如果兩拓撲結(jié)構(gòu),”,了與了等價則它們確定極限點的效果完全相同而反過來若兩個拓撲確定極限點,,,“的效果完全相同它們是否等價作者并未提及而到了第頁又突然出現(xiàn)在同一個集合,,,”上的兩個拓撲了及了當(dāng)它們確定極限點的效果完全相同時稱它們?yōu)橥負涞葍r,,這樣繼第頁的拓撲等價的定義之后作者
8、在此又給出了一個拓撲等價的定義如我們,,所指出的書中并未證明這兩個定義的一致性那么人們又要問了到底該把什么叫做拓,撲等價呢
