評：《點集拓撲》半期作業(yè)

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1、半期復習主要復習兩個內(nèi)容：拓撲學研究的思路與成果；常見證明方法.一．研究的思路與成果1．預備知識：（1）集合的三種運算的定義與證明方法：并、交、差：A∪B、A∩B、A-B（2）在映射f之下，集合的并、交、差的象有什么特點？f（A∪B）＝f（A）∪f（B）f（A∩B）f（A）∩f（B）當f為單射時，取等號f（A-B）f（A）－f（B）當f為單射時，取等號（3）集合的并、交、差運算關于f的原象有什么特點？一句話：保持運算.即：（4）f滿時取等號f單時取等號（5）等價關系、等價類的定義，作用等價類是一種分類方法，將等價類看成一個元素，所有這樣元素的集合就是原集合的商集.（6）有限集與無限集、可數(shù)集與

2、不可數(shù)集大不相同.2．拓撲空間（1）度量空間、球形鄰域、開集、連續(xù)映射的定義.（2）拓撲空間的定義（P51def2.2.1:滿足三條性質(zhì)）拓撲空間是所有數(shù)學空間中最基礎的空間（是所有數(shù)學空間的交集）它只具有開集.（3）模仿實數(shù)空間，在拓撲空間中引進類似實數(shù)空間的性質(zhì).定義了鄰域、閉集、閉包、凝聚點、導集定義了連續(xù)映射，并利用閉集、閉包給出了連續(xù)映射的等價命題.（4）模仿高等代數(shù)，給出了基的概念.（5）定義了序列及極限點.思路：模仿實數(shù)空間，在拓撲空間中引進實數(shù)空間的性質(zhì).同時也剖析了實數(shù)空間，使我們對實數(shù)空間的認識更深刻.矚慫潤厲釤瘞睞櫪廡賴。因此，我們在研究各種性質(zhì)時，應不斷探討：R中是否具

3、有這種性質(zhì)？與R中的相應性質(zhì)有何區(qū)別？3．從拓撲空間構(gòu)造新的拓撲空間（1）子空間的定義，子空間中開集、閉集、閉包、導集、鄰域的結(jié)構(gòu).（2）積空間及其基、子基的概念.（3）商空間、商拓撲、商映射的定義（4）投射、自然投射的一些性質(zhì)（Th3.2.6;Th3.2.7;Th3.3.2,Th3.3.3）二．常見證明方法1．證明集合包含相等2．證明連續(xù)映射：反射開集、閉集、鄰域3．證明開集：定理2.3.1.在連續(xù)映射下，是否是開集的原象？開映射下，是否是開集的象？4．證明基：定義及定理2.6.25.證明凝聚點;U證明不是凝聚點:U證明閉包:U6.證明序列收斂于x,用定義;證明序列收斂,用反證法.U7.常在

4、一個集合關系式的兩邊同取f、、閉包等8．常用反證法