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《挖掘隱含的輔助圓解題》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫。
1、第二講挖掘隱含的輔助圓解題1.1 作出三角形的外接圓例1如圖1,在△ABC中,AB＝AC,D是底邊BC上一點(diǎn),E是線段AD上一點(diǎn)且∠BED＝2∠CED＝∠A.求證：BD＝2CD.1.2利用四點(diǎn)共圓例2凸四邊形ABCD中,∠ABC＝60°,∠BAD＝∠BCD＝90°,AB＝2,CD＝1,對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,如圖2.則sin∠AOB＝____.例3已知：如圖3,AB＝BC＝CA＝AD,AH⊥CD于H,CP⊥BC,CP交AH于P.求證：△ABC的面積S＝AP·BD.2、構(gòu)造相關(guān)的輔助圓解題有些問題貌似與圓無關(guān),但問題的題設(shè)或結(jié)論或圖形提供了某些與圓的性質(zhì)相似的信息,此時(shí)可大膽聯(lián)想構(gòu)
2、造出與題目相關(guān)的輔助圓,將原問題轉(zhuǎn)化為與圓有關(guān)的問題加以解決.2.1聯(lián)想圓的定義構(gòu)造輔助圓例4如圖4,四邊形ABCD中,AB∥CD,AD＝DC＝DB＝p,BC＝q.求對(duì)角線AC的長(zhǎng).分析：由“AD＝DC＝DB＝p”可知A、B、C在半徑為p的⊙D上.利用圓的性質(zhì)即可找到AC與p、q的關(guān)系.1.3聯(lián)想圓冪定理構(gòu)造輔助圓例6AD是Rt△ABC斜邊BC上的高,∠B的平行線交AD于M,交AC于N.求證：AB2－AN2＝BM·BN.例7如圖7,ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形,延長(zhǎng)AB和DC相交于E,延長(zhǎng)AB和DC相交于E,延長(zhǎng)AD和BC相交于F,EP和FQ分別切⊙O于P、Q.求證：EP2＋FQ2＝
3、EF2.1.4聯(lián)想托勒密定理構(gòu)造輔助圓例8如圖8,△ABC與△A＇B＇C＇的三邊分別為a、b、c與a＇、b＇、c＇,且∠B＝∠B＇,∠A＋∠A＇＝180°.試證：aa＇＝bb＇＋cc＇.練習(xí)題1.作一個(gè)輔助圓證明：△ABC中,若AD平分∠A,則＝.(提示：不妨設(shè)AB≥AC,作△ADC的外接圓交AB于E,證△ABC∽△DBE,從而＝＝.)2.已知凸五邊形ABCDE中,∠BAE＝3a,BC＝CD＝DE,∠BCD＝∠CDE＝180°－2a.求證：∠BAC＝∠CAD＝∠DAE.(提示：由已知證明∠BCE＝∠BDE＝180°－3a,從而A、B、C、D、E共圓,得∠BAC＝∠CAD＝∠DAE.
4、)3.在△ABC中AB＝BC,∠ABC＝20°,在AB邊上取一點(diǎn)M,使BM＝AC.求∠AMC的度數(shù).(提示：以BC為邊在△ABC外作正△KBC,連結(jié)KM,證B、M、C共圓,從而∠BCM＝∠BKM＝10°,得∠AMC＝30°.)4．如圖10,AC是ABCD較長(zhǎng)的對(duì)角線,過C作CF⊥AF,CE⊥AE.求證：AB·AE＋AD·AF＝AC2.(提示：分別以BC和CD為直徑作圓交AC于點(diǎn)G、H.則CG＝AH,由割線定理可證得結(jié)論.)5.如圖11.已知⊙O1和⊙O2相交于A、B,直線CD過A交⊙O1和⊙O2于C、D,且AC＝AD,EC、ED分別切兩圓于C、D.求證：AC2＝AB·AE.(提示：
5、作△BCD的外接圓⊙O3,延長(zhǎng)BA交⊙O3于F,證E在⊙O3上,得△ACE≌△ADF,從而AE＝AF,由相交弦定理即得結(jié)論.)6．已知E是△ABC的外接圓之劣弧BC的中點(diǎn).求證：AB·AC＝AE2－BE2.(提示：以BE為半徑作輔助圓⊙E,交AE及其延長(zhǎng)線于N、M,由△ANC∽△ABM證AB·AC＝AN·AM.)7.若正五邊形ABCDE的邊長(zhǎng)為a,對(duì)角線長(zhǎng)為b,試證：－＝1.(提示：證b2＝a2＋ab,聯(lián)想托勒密定理作出五邊形的外接圓即可證得.)
