平面幾何中幾個(gè)重要定理的證明

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1、平面幾何中幾個(gè)重要定理及其證明一、塞瓦定理1．塞瓦定理及其證明定理：在ABC內(nèi)一點(diǎn)P，該點(diǎn)與ABC的三個(gè)頂點(diǎn)相連所在的三條直線分別交ABC三邊AB、BC、CA于點(diǎn)D、E、F，且D、E、F三點(diǎn)均不是ABC的頂點(diǎn)，則有．證明：運(yùn)用面積比可得．根據(jù)等比定理有，所以．同理可得，．三式相乘得．注：在運(yùn)用三角形的面積比時(shí)，要把握住兩個(gè)三角形是“等高”還是“等底”，這樣就可以產(chǎn)生出“邊之比”．2．塞瓦定理的逆定理及其證明定理：在ABC三邊AB、BC、CA上各有一點(diǎn)D、E、F，且D、E、F均不是ABC的頂點(diǎn)，若，那么直線CD、AE、BF三線共點(diǎn)．證明：設(shè)直線AE與直線BF交于點(diǎn)P，直線CP交AB于點(diǎn)D/，則據(jù)

2、塞瓦定理有．因?yàn)?，所以有．由于點(diǎn)D、D/都在線段AB上，所以點(diǎn)D與D/重合．即得D、E、F三點(diǎn)共線．注：利用唯一性，采用同一法，用上塞瓦定理使命題順利獲證．一、梅涅勞斯定理G3．梅涅勞斯定理及其證明定理：一條直線與ABC的三邊AB、BC、CA所在直線分別交于點(diǎn)D、E、F，且D、E、F均不是ABC的頂點(diǎn)，則有．證明：如圖，過點(diǎn)C作AB的平行線，交EF于點(diǎn)G．因?yàn)镃G//AB，所以————（1）因?yàn)镃G//AB，所以————（2）由（1）÷（2）可得，即得．注：添加的輔助線CG是證明的關(guān)鍵“橋梁”，兩次運(yùn)用相似比得出兩個(gè)比例等式，再拆去“橋梁”（CG）使得命題順利獲證．4．梅涅勞斯定理的逆定理及其

3、證明定理：在ABC的邊AB、BC上各有一點(diǎn)D、E，在邊AC的延長線上有一點(diǎn)F，若，那么，D、E、F三點(diǎn)共線．證明：設(shè)直線EF交AB于點(diǎn)D/，則據(jù)梅涅勞斯定理有．因?yàn)?，所以有．由于點(diǎn)D、D/都在線段AB上，所以點(diǎn)D與D/重合．即得D、E、F三點(diǎn)共線．注：證明方法與上面的塞瓦定理的逆定理如出一轍，注意分析其相似后面的規(guī)律．一、托勒密定理EM5．托勒密定理及其證明定理：凸四邊形ABCD是某圓的內(nèi)接四邊形，則有AB·CD+BC·AD=AC·BD．證明：設(shè)點(diǎn)M是對角線AC與BD的交點(diǎn)，在線段BD上找一點(diǎn)，使得DAE=BAM．因?yàn)锳DB=ACB，即ADE=ACB，所以ADE∽ACB，即得，即————（1）

4、由于DAE=BAM，所以DAM=BAE，即DAC=BAE。而ABD=ACD，即ABE=ACD，所以ABE∽ACD．即得，即————（2）由（1）+（2）得．所以AB·CD+BC·AD=AC·BD．注：巧妙構(gòu)造三角形，運(yùn)用三角形之間的相似推得結(jié)論．這里的構(gòu)造具有特點(diǎn)，不容易想到，需要認(rèn)真分析題目并不斷嘗試．6．托勒密定理的逆定理及其證明定理：如果凸四邊形ABCD滿足AB×CD+BC×AD=AC×BD，那么A、B、C、D四點(diǎn)共圓．證法1（同一法）：在凸四邊形ABCD內(nèi)取一點(diǎn)E，使得，，則∽．可得AB×CD=BE×AC———（1）且———（2）則由及（2）可得∽．于是有AD×BC=DE×AC———（

5、3）由（1）+（3）可得AB×CD+BC×AD=AC×(BE+DE)．據(jù)條件可得BD=BE+DE，則點(diǎn)E在線段BD上．則由，得，這說明A、B、C、D四點(diǎn)共圓．證法2（構(gòu)造轉(zhuǎn)移法）延長DA到A/，延長DB到B/，使A、B、B/、A/四點(diǎn)共圓．延長DC到C/，使得B、C、C/、B/四點(diǎn)共圓．（如果能證明A/、B/、C/共線，則命題獲證）那么，據(jù)圓冪定理知A、C、C/、A/四點(diǎn)也共圓．因此，，．可得.另一方面，，即．欲證=，即證即．據(jù)條件有，所以需證，即證，這是顯然的．所以，，即A/、B/、C/共線．所以與互補(bǔ)．由于，，所以與互補(bǔ)，即A、B、C、D四點(diǎn)共圓．7．托勒密定理的推廣及其證明定理：如果凸四

6、邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)不在同一個(gè)圓上，那么就有AB×CD+BC×AD>AC×BD證明：如圖，在凸四邊形ABCD內(nèi)取一點(diǎn)E，使得，，則∽．可得AB×CD=BE×AC————（1）且————（2）則由及（2）可得∽．于是AD×BC=DE×AC————（3）由（1）+（3）可得AB×CD+BC×AD=AC×(BE+DE)因?yàn)锳、B、C、D四點(diǎn)不共圓，據(jù)托勒密定理的逆定理可知AB×CD+BC×ADAC×BD所以BE+DEBD，即得點(diǎn)E不在線段BD上，則據(jù)三角形的性質(zhì)有BE+DE>BD．所以AB×CD+BC×AD>AC×BD．一、西姆松定理8．西姆松定理及其證明定理：從ABC外接圓上任意一點(diǎn)P向BC、C

7、A、AB或其延長線引垂線，垂足分別為D、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線．證明：如圖示，連接PC，連接EF交BC于點(diǎn)D/，連接PD/．因?yàn)镻EAE，PFAF，所以A、F、P、E四點(diǎn)共圓，可得FAE=FEP．因?yàn)锳、B、P、C四點(diǎn)共圓，所以BAC=BCP，即FAE=BCP．所以，F(xiàn)EP=BCP，即D/EP=D/CP，可得C、D/、P、E四點(diǎn)共圓．所以，CD/P+CEP=1800。而CEP=900，所以C