平面幾何中幾個(gè)重要定理

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1、平面幾何中的幾個(gè)重要定理一．塞瓦定理塞瓦（G。Ceva1647—1743），意大利著名數(shù)學(xué)家。塞瓦定理設(shè)為三邊所在直線外一點(diǎn)，連接分別和的邊或三邊的延長線交于（如圖1），則與塞瓦定理同樣重要的還有下面的定理。塞瓦定理逆定理設(shè)為的邊或三邊的延長線上的三點(diǎn)（都在三邊上或只有其中之一在邊上），如果有，則三直線交于一點(diǎn)或互相平行。E例1．如圖3，是內(nèi)一點(diǎn)，分別與邊交于，過三點(diǎn)作圓，與三邊交于。求證：交于一點(diǎn)。例2．設(shè)分別為三邊的中點(diǎn)，為內(nèi)一點(diǎn)，分別交于（如圖4）。求證：三線共點(diǎn)。例3．以各邊為底邊向外作相似的等腰三角形（如圖5）

2、。求證相交于一點(diǎn)。一．梅涅勞斯定理Menelaus（公元98年左右），希臘數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，梅涅勞斯定理包含在其幾何著作《球論》里。梅涅勞斯定理設(shè)的三邊或它們的延長線與一條不經(jīng)過其頂點(diǎn)的直線交于三點(diǎn)（如圖6），則。梅涅勞斯定理逆定理設(shè)分別是的三邊上或它們延長線上三點(diǎn)，若有，則三點(diǎn)在同一直線上。例4．設(shè)的∠A的外角平分線與BC的延長線交于P,∠B的平分線與AC交于Q,∠C的平分線和AB交于R.求證：三點(diǎn)在同一直線上。例5．圖8，過△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C作它的外接圓的切線，分別和BC、CA、AB的延長線交于P、Q、R，

3、求證：P、Q、R三點(diǎn)共線。注：直線PQR叫做△ABC的萊莫恩（Lemoine）線例6（戴沙格定理）設(shè)△ABC和△對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線、、交于一點(diǎn)，這時(shí)如果對(duì)應(yīng)邊和、和、和（或它們的延長線）相交，則它們的交點(diǎn)D、E、F在同一直線上。注：戴沙格定理是射影幾何中的重要定理。例7．（牛頓定理）設(shè)四邊形的一組對(duì)邊和的延長線交于點(diǎn)，另一組對(duì)邊和的延長線交于點(diǎn)，則的中點(diǎn)、的中點(diǎn)及的中點(diǎn)，三點(diǎn)共線。三．斯特瓦爾特定理Stewart（1753—1828），英國數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家。斯特瓦爾特定理如圖，設(shè)P是的邊上一點(diǎn)，且==，則有斯特瓦爾特定理另外形式

4、：或當(dāng)時(shí)，P為BC的中點(diǎn)，有（巴布斯定理）（中線定理）當(dāng)AP是△ABC∠A的平分線是，有。例8．在△ABC中設(shè)AB=c，AC=b，c>b，AD是∠A的平分線，E為BC上一點(diǎn)，且BE=CD。求證：。例9．設(shè)為△ABC的重心，M是平面上任意一點(diǎn)，求證：練習(xí)1．△ABC的邊BC上任意一點(diǎn)D，設(shè)∠ADB和∠ADC的角平分線分別交AB、AC于F和E，求證：AD、BE、CF交于一點(diǎn)。2．已知AD是△ABC的邊BC上的高，P為AD上任意一點(diǎn)，直線BP、CP分別交AC、AB于E、F，求證：∠FDA=∠ADE。3．△ABC中，內(nèi)切圓⊙O與

5、各邊BC、CA、AB相切于D、E、F，求證：AD、BE、CF交于一點(diǎn)。4．在△ABC中，，AM為BC邊上的中線，AD為∠A的平分線，頂點(diǎn)B在AD上的射影為E，BE交AM于N，求證：DN∥AB。5．設(shè)△ABC的三個(gè)旁切圓在BC、CA、AB上的切點(diǎn)分別為D、E、F，則AD、BE、CF交于一點(diǎn)。6．設(shè)平行四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)E，過E引AB的平行線與AD、BC交于K、G，過E引AD的平行線與AB，CD交于F、H，則FK、BD、GH互相平行或交于一點(diǎn)。7．一條直線與三角形三邊或其延長線交于L、M、N，若點(diǎn)與L、M、N關(guān)于三邊的中點(diǎn)

6、對(duì)稱，求證三點(diǎn)共線。8．設(shè)四邊形ABCD外切于⊙O，切點(diǎn)分別為，則相交于一點(diǎn)（或相交于一點(diǎn)）9．設(shè)D、E為的邊上兩點(diǎn)，且，則10．設(shè)正三角形ABC邊長為a，P為平面上任意一點(diǎn)，證明：。三．托勒密定理Ptolemy（約公元85—165年），希臘大數(shù)學(xué)家，他的主要著作《天文集》被后人稱作“偉大的數(shù)學(xué)書”。托勒密定理設(shè)四邊形ABCD內(nèi)接于圓，則有。例1．如圖，設(shè)為平行四邊形的邊上的兩點(diǎn)，的外接圓交對(duì)角線于。求證：。例2．設(shè)為圓內(nèi)接正方形，為弧上一點(diǎn)，求證：例3。如圖，已知圓內(nèi)接正五邊形，若為弧上一點(diǎn)，則例4．設(shè)為同心圓，的半徑

7、是的半徑的2倍，四邊形內(nèi)接于圓，分別延長交圓于，求證：四邊形的周長不小于四邊形的周長的2倍。一．西姆松定理R．Simson（1867—1768），英國數(shù)學(xué)家，曾于1756年校訂了歐幾里德的《幾何原本》。西姆松定理從的外接圓上任意一點(diǎn)向或它們的延長線引垂線，垂足分別為，則三點(diǎn)共線。過點(diǎn)的直線叫做關(guān)于點(diǎn)的西姆松線西姆松定理的逆定理也成立，即：從的三邊或它們的延長線引垂線，垂足分別為在同一直線上，則點(diǎn)在的外接圓上。西姆松定理還可以推廣為：（卡諾定理）過的外接圓上一點(diǎn)，引與三邊分別成同向的等角直線，與三邊交點(diǎn)分別為，則三點(diǎn)共線。

8、例5．設(shè)的三條高為，過作的垂線，垂足分別為，則在同一直線上。例6．（史坦納定理）設(shè)垂心為，其外接圓上任意一點(diǎn)，則關(guān)于點(diǎn)的西姆松線過線段的中點(diǎn)。例7．如圖，設(shè)為外接圓上的兩點(diǎn)，若關(guān)于的西姆松線和交于，則一．歐拉定理L．Euler（1707—1783），瑞士大數(shù)學(xué)家，在數(shù)學(xué)的多個(gè)領(lǐng)域都作出過重大貢獻(xiàn)。歐拉定理設(shè)的外心、重