ln2估值方法匯總

《ln2估值方法匯總》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在應(yīng)用文檔-天天文庫。

1、ln2估值方法匯總（2014，全國新課標II理數(shù)）已知.（1）討論的單調(diào)性。（2）設(shè)，若有，求的最大值。（3）已知，估算的近似值（精確到0.001）。本題的（1），（2）兩問不難回答，且可以得到在上單增，的結(jié)論。第（3）問是此卷的壓軸題，難度相當大，先給出參考答案。解法一：在中令，得，即，化簡并移項得，這便估得了的下界。注意到若，則時有，而，故此時若，則.取,令，則，故，化簡并移項得，這便估得了的上界。至此，我們證明了，由四舍五入的原則，的近似值為.該解法對下界的估計比較容易想到，而對上界的估計較難理解。事實上，參考

2、答案在第（2）問便已為第（3）問的上界估計做了準備，并采用了相應(yīng)的方法，如果考生在較為簡單的第（2）問中采用其他方法，便很難估出上界。此外，上界估計中的不是憑空構(gòu)造而成，而是由解出的。這個解法較為復(fù)雜，導(dǎo)致本應(yīng)較為簡單的全國卷II因此題難度達到了較高的水平，考場上鮮有考生能夠做出本題。在這種情況下，我們試圖尋找其他解法。注意到，故，這啟示我們將轉(zhuǎn)化為曲邊梯形的面積計算。解法二：，由定積分的幾何意義知此即下圖所示曲邊梯形面積。由在上單增知下凸，故.取直線，其中，將此曲邊梯形分為20個小的曲邊梯形，這20個小的曲邊梯形面

3、積之和等于大曲邊梯形的面積，即的值。用表示第個小曲邊梯形的面積，則.至此，我們便求出了解法一中較為棘手的上界（這里只計算了20項，看似不多但實際上由于變量在分母上也比較麻煩），接下來可以參考解法一的下界求法，也可以用求得，但這里的放縮過寬，分割成20份達不到題目要求的精度，需分割為幾百份（經(jīng)計算可知300份仍不能滿足精度，而500份可以），不適合在考場上使用?？紤]到時泰勒展開式收斂，我們嘗試令以求.解法三：.此解法堪稱本題形式最為簡單的解法。理論上講，由于，該方法遲早能夠求出符合本題要求的近似值。但是，為了使求出的答

4、案令人信服，我們必須求幾千項分母各不相同的數(shù)之和，這在人工運算中幾乎不可能完成。出現(xiàn)以上狀況的原因是交錯級數(shù)收斂太慢。確實存在一些收斂較快的自然對數(shù)展開式，但限于目前水平，本人亦不了解，對高考考生而言則更無了解必要。事實上，解法三如果不是將后面的項舍去，而是將后面的項進行放縮，則可大大減少計算的項數(shù)。不過，盡管這樣，仍然要同解法二一樣計算十幾個分母不同的分數(shù)之和。但注意到，將原式與此式作差可得，令得，這個級數(shù)收斂速度顯然比原級數(shù)快得多。經(jīng)過簡單分析即知這個級數(shù)雖然遞增，但幾項之后便非常小，可以通過放縮舍去：，.此即方

5、法四，這相比前一個方法簡單不少，比較適合知道泰勒級數(shù)的考生在考場上使用（前提是該地區(qū)閱卷的評分標準給分）。后記：本人在2014年就看過這道題，對其簡潔的表述以及復(fù)雜的解題過程有較深的印象，15年初拿到本題卻一時沒有做出來（后來才知道是因為第二問求錯了），于是之后仔細閱讀了參考答案及附錄中鏈接的帖子，感到本題題型非常新穎，解體的思路也很開闊（初等的解法除標答外亦有很多，各位不妨一試），故寫本文。此處介紹高等方法僅為拓展課外知識用，實際解題中我們?nèi)酝扑]使用解法一。參考資料：新課標2壓軸估算ln2求個能給分的方法_數(shù)學(xué)競賽

6、吧_百度貼吧本文中各種方法的原始思路大都從此帖借鑒而來，對其中各位熱心回答者表示感謝。