引發(fā)逆向思維的幾種情形

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1、引發(fā)逆向思維的幾種情形一、由因式的分解引發(fā)逆向思維例1　(－)2(8＋2)．分析大多數(shù)學(xué)生是從先算平方，再按多項(xiàng)式法則展開(kāi)、合并這一常規(guī)解法，注意到8＋2這個(gè)式子的結(jié)構(gòu)特征，這個(gè)式子能“分解因式”成(＋)2，故原式等于(－)2(＋)2，此時(shí)再逆用積的乘方公式即可．解　∵8＋2＝5＋3＋2＝∴原式＝(－)2(＋)2＝[(－)(＋)]2＝22＝4．類比練習(xí)：二、由逆運(yùn)算引發(fā)逆向思維例2化簡(jiǎn)：（x－1）分析大多數(shù)學(xué)生習(xí)慣于先將4化簡(jiǎn)，再將整個(gè)式子化簡(jiǎn)，能否將根式外的因式（x－1）“移”到根號(hào)內(nèi)呢？若能，此時(shí)需要注意因式（x－1）值的正負(fù)性．這一想法的依據(jù)是公式a＝(a≥0)．解　有意義的條件為，

2、則x－1<0，即x－1為負(fù)數(shù)．∴原式=說(shuō)明化簡(jiǎn)的依據(jù)是公式a＝(a≥0)，即公式＝a(a≥0)的逆用．應(yīng)注意二次根式有意義的條件（被開(kāi)放式為非負(fù)數(shù)），還要注意根式內(nèi)“移”出的數(shù)應(yīng)是非負(fù)數(shù)，“移”進(jìn)的數(shù)也應(yīng)是非負(fù)數(shù)．三、由結(jié)果尋求條件引發(fā)逆向思維例3（2013年廣安中考題）已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖1所示，對(duì)稱軸是點(diǎn)線x＝1．下列結(jié)論：①abc>0，②2a＋b＝0，③62—4ac0.其中正確的是()(A)①③(B)只有②(C)②④(D)③④解析對(duì)選項(xiàng)①，結(jié)合圖象需確定系數(shù)a、b、c的正負(fù)性，由拋物線開(kāi)口方向向上，得a>0，依據(jù)“左同右異”的規(guī)律，得b<

3、0，由拋物線與y軸的正半軸相交，得c>0，故abc<0．對(duì)選項(xiàng)②，是關(guān)于a，b的式子，故此想到對(duì)稱軸x＝－．由－＝1，得b＝－2a，即2a＋b＝0．對(duì)選項(xiàng)③，欲判斷b2－4ac的正負(fù)性，需看拋物線和x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由拋物線和x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，得b2－4ac>0．4對(duì)選項(xiàng)④，4a＋2b＋c是x＝2對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，知拋物線和x軸的右交點(diǎn)的橫坐標(biāo)小于2，故4a＋2b＋c>0．綜上，選C．四、反向變換引發(fā)逆向思維例4（2013年衢州中考題）拋物線y＝x2＋bx＋c的圖象先向右平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，所得圖象的函數(shù)解析式為y＝(x－1)2－4，則b、c的值為()(A)b＝2

4、，c＝－6(B)b＝2，c＝0(C)b＝－6，c＝8(D)b＝－6，c＝2解析根據(jù)運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性，知拋物線y＝(x－1)2－4先向左平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，可得拋物線y＝x2＋bx＋c．由于拋物線y＝（x－1）2－4的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，－4），所以拋物線y＝x2＋bx＋c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（－1，－1），所以y＝(x＋1)2－1＝x2＋2x，即b＝2，c＝0，故選B．五、從問(wèn)題的反面進(jìn)行思考引發(fā)逆向思維例5若方程2x2－(4k＋1)x＋2k2－1＝0，x2－2(k＋1）x＋k2－2＝0，x2－（2k＋1）x＋(k－2)2＝0中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍．分析由于“至少有一個(gè)方程

5、有實(shí)數(shù)根”與“三個(gè)方程均無(wú)實(shí)數(shù)根”是對(duì)立排斥的，所以可以先從這個(gè)問(wèn)題的反面，即三個(gè)方程均無(wú)實(shí)根的角度來(lái)考慮，即從△1、△2、△3三者均小于0中解出k的取值范圍，再?gòu)膶?shí)數(shù)中排除這個(gè)k的取值范圍．解∵△1＝8k＋9<0，△2＝8k＋12<0，△3＝20k－15<0，得k<－．因此，當(dāng)k≥－時(shí)，三個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根．六、從“配角”變“主角”引發(fā)逆向思維例6在關(guān)于x的方程ax2＋2（2a－1）x＋4a－7＝0中，a為正整數(shù)，當(dāng)a為何值時(shí)，方程至少有一個(gè)整數(shù)根？4分析因?yàn)轭}眼是“關(guān)于x”，所以大多數(shù)學(xué)生習(xí)慣于用求根公式將x用a的式子表示，接下來(lái)通過(guò)x為整數(shù)去求正整數(shù)a的值，這樣的計(jì)算比較

6、繁瑣．此時(shí)，不妨嘗試一下將系數(shù)a用未知數(shù)x的式子表達(dá)，這樣能二次方程降為一次方程．解　∵ax2＋2（2a－1）x＋4a－7＝0∴當(dāng)a＝5，a＝1時(shí)，原方程至少有一個(gè)整數(shù)根．說(shuō)明將“主角”和“配角”變換一下角色，起到了另辟蹊徑的效果；同時(shí)變形的中用了“裂項(xiàng)”法，它本身就是一種逆向思維，變形的目的是為“整除”服務(wù)的．4