機(jī)械振動(dòng)PPT電子課件教案-第四章 單自由度系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)

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1、單自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)：系統(tǒng)在持續(xù)的外界激勵(lì)作用下產(chǎn)生的振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)的形式本章討論單自由度線性系統(tǒng)在周期激擾（激勵(lì)或擾動(dòng)）作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)，通常稱為振動(dòng)系統(tǒng)對(duì)周期激擾的響應(yīng).周期激擾可以是作用于振動(dòng)系統(tǒng)的周期擾力，也可以是振動(dòng)系統(tǒng)支座的周期運(yùn)動(dòng)。振動(dòng)系統(tǒng)的周期擾力——回轉(zhuǎn)體質(zhì)量偏心振動(dòng)系統(tǒng)的周期擾力——系統(tǒng)支座的周期運(yùn)動(dòng)周期起伏路面對(duì)行駛中車輛的激勵(lì)、振動(dòng)地面對(duì)精密機(jī)床的激勵(lì)正弦激勵(lì)法的作用對(duì)于實(shí)際的振動(dòng)系統(tǒng)的參數(shù)測(cè)量，實(shí)際上通常加一系列的正弦信號(hào)，通過測(cè)量系統(tǒng)的響應(yīng)，來獲得振動(dòng)系統(tǒng)的參數(shù)，即所謂正弦激勵(lì)法，例如正弦掃頻等。系統(tǒng)激勵(lì)響應(yīng)討論簡(jiǎn)諧輸入意義這種情形比較簡(jiǎn)單，而所得

2、的結(jié)論卻有很重要的工程應(yīng)用；任意的周期激擾，都可以通過Fourier級(jí)數(shù)，分解成若干個(gè)正弦型激擾的和利用線性系統(tǒng)的疊加性，可得到全響應(yīng)。系統(tǒng)激勵(lì)響應(yīng)例子如右圖所示，物體沿垂直方向振動(dòng)，取物體無擾力下的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，鉛直向下為x軸正向，建立如圖所示的坐標(biāo)系。受力情況如圖，其擾動(dòng)力為：變量說明擾力：稱為擾力的力幅，為常值擾力的頻率，簡(jiǎn)稱擾頻，為常值系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程由牛頓第二定律：整理這就是無阻尼振動(dòng)系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧擾力作用下的運(yùn)動(dòng)微分方程。定義輔助變量令：表示在靜力條件下，系統(tǒng)受到一個(gè)大小為的力作用時(shí)的位移。方程和通解的標(biāo)準(zhǔn)形式這是一個(gè)非齊次二階常系數(shù)微分方程，根據(jù)微分方程理論，它的解

3、由兩部分組成：齊次解代表齊次微分方程的解，簡(jiǎn)稱齊次解，由前面的單自由度無阻尼自由振動(dòng)可得：特解代表方程的一個(gè)特解，由激擾力的形式可知方程的特解可以表示成為：積分常數(shù)積分常數(shù)的確定將代入微分方程，可得：并令：，稱為頻率比，可得：微分方程的通解齊次解積分常數(shù)的確定對(duì)通解求導(dǎo)可得應(yīng)用初始條件由初始條件，時(shí)，初始位移和初始速度分別為：通解表達(dá)形式將得到的代入方程的通解表達(dá)式：方程解可以寫成：解的討論從上式可以清楚地看到，前兩項(xiàng)是由初始條件引起的自由振動(dòng)，頻率為系統(tǒng)的無阻尼自由振動(dòng)的固有頻率，表示系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)，與激擾力的頻率相同，振幅和初始條件無關(guān)，表示激擾力引起的自由振動(dòng)對(duì)擾力

4、引起自由振動(dòng)的討論令初始條件：，微分方程的解簡(jiǎn)化為：可見，激擾力不但引起強(qiáng)迫振動(dòng)，同時(shí)還要引起自由振動(dòng)，二者都是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，但頻率不相等的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)之和已經(jīng)不再是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。頻率比對(duì)振幅的影響對(duì)于周期擾動(dòng)作用下的運(yùn)動(dòng)，我們關(guān)心的主要是強(qiáng)迫振動(dòng)，為激擾力引起的強(qiáng)迫振動(dòng)，在時(shí)，強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅隨著的增大無限增大，直到時(shí)，即激擾力的頻率和系統(tǒng)的固有頻率相等的時(shí)候，理論上的振幅趨于無窮大，這種現(xiàn)象稱為共振。頻率比對(duì)振幅的影響在時(shí)，我們將寫成，從而保證振幅為正值。從中可以看出，質(zhì)量的位移與擾力正好反向，振幅隨著的增大而無限減小。放大率在靜力作用下，系統(tǒng)的靜撓度為，可見：體現(xiàn)了擾力的動(dòng)力作用，這個(gè)量

5、的絕對(duì)值記為放大率：放大率-頻率比曲線放大率和頻率比之間的關(guān)系，即為曲線的意義曲線只表示振動(dòng)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)的情形，亦即激擾固定在某一頻率時(shí)，系統(tǒng)振幅達(dá)到定值后的情形。共振的討論在共振時(shí)，系統(tǒng)的振幅將達(dá)到無窮大，事實(shí)上，這是不可能的，首先，系統(tǒng)存在阻尼，在下節(jié)大家將會(huì)看到，微小的阻尼就會(huì)限制振幅的無限增大。另一方面，在振幅無限增大的過程中，線性彈簧的假設(shè)也不再成立。共振時(shí)微分方程的特解在的時(shí)候，方程的特解也不再為而應(yīng)該表示為如下形式：，特解的導(dǎo)數(shù)積分常數(shù)的確定代入微分方程：，從而：，共振特解的討論方程的特解可以寫成：可見，共振的時(shí)候，強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅隨著時(shí)間的增大而按比例的增大。對(duì)于許多機(jī)

6、器，在正常運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，其擾頻都遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過系統(tǒng)的固有頻率，所以在啟動(dòng)和停止的過程中，都要通過共振區(qū)，由于共振的振幅隨時(shí)間線性增大，只要縮短通過共振區(qū)的時(shí)間，就可以順利通過共振區(qū)。阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)實(shí)際的振動(dòng)系統(tǒng)都是有阻尼的，下面來討論有粘性阻尼的系統(tǒng)，在簡(jiǎn)諧擾力作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)。運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)圖和坐標(biāo)建立如右圖所示，物體沿水平方向振動(dòng)，取物體無擾力下的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平向右為x軸正向，建立如圖所示的坐標(biāo)系。受力情況如圖，其擾動(dòng)力為：其中稱為擾力的力幅，為常值；為擾力的頻率，簡(jiǎn)稱擾頻，也為常值。建立微分方程根據(jù)牛頓第二定律：令：方程變形為：，，，解的組成這是一個(gè)非齊次二階常系數(shù)微分方程，根據(jù)微分方程

7、理論，它的解由兩部分組成：代表齊次微分方程的解，簡(jiǎn)稱齊次解，為的一個(gè)特解，又稱穩(wěn)態(tài)解齊次解的討論當(dāng)時(shí)，由前面的單自由度阻尼自由振動(dòng)可得：其中：，稱為衰減振動(dòng)的圓頻率。并且：，特解的討論由于激勵(lì)為簡(jiǎn)諧的，根據(jù)微分方程的理論，上述微分方程有如下形式的特解：將，，代入可得：系統(tǒng)的全響應(yīng)其中：，微分方程響應(yīng)：（系統(tǒng)激勵(lì)，A為激勵(lì)的幅值）解的討論第一項(xiàng)是齊次解，也稱為瞬態(tài)解，代表衰減的自由振動(dòng)，自由振動(dòng)在運(yùn)動(dòng)開始后很短的時(shí)間內(nèi)迅速消失，通?？梢圆患涌紤]。；第二項(xiàng)是特