機械振動PPT電子課件教案-第二章 單自由度振動系統(tǒng)

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1、單自由度振動系統(tǒng)單自由度系統(tǒng)自由振動單自由度系統(tǒng)阻尼振動單自由度系統(tǒng)強迫振動單自由度定義只有一個自由度的振動系統(tǒng)，稱為單自由度振動系統(tǒng)，簡稱單自由度系統(tǒng).自由度：指完整描述一個振動系統(tǒng)時間特性所需的最少的獨立坐標(biāo)數(shù)，在理論力學(xué)中用廣義坐標(biāo)數(shù)。幾種單自由度系統(tǒng)的示例無阻尼自由振動自由振動：系統(tǒng)在初始激勵下，或外加激勵消失后的一種振動形態(tài)。系統(tǒng)的無阻尼振動是對實際問題的理論抽象，是一種理想條件，實際的系統(tǒng)都有阻尼。如果現(xiàn)實世界沒有阻止運動能力的話，整個世界將處于無休止的振動中。以系統(tǒng)的靜平衡位置為坐標(biāo)原點，以水平向右為軸正向

2、，建立如圖所示的坐標(biāo)系設(shè)在某一瞬時t,質(zhì)量沿坐標(biāo)方向有一位移x，畫出質(zhì)量此時的隔離體受力圖。自由振動是系統(tǒng)在初始激勵下或外加激勵消失后的一種振動形態(tài)。自由振動時系統(tǒng)不受外界激勵的影響，其振動規(guī)律完全取決于系統(tǒng)本身的性質(zhì)。通解為：自由振動的運動微分方程：三角公式推導(dǎo)根據(jù)三角函數(shù)公式令：幅值和相角的確定由前面推導(dǎo)結(jié)論1單自由度無阻尼自由振動為簡諧振動——位移可以表示為時間的簡諧函數(shù)（正弦或余弦）結(jié)論2響應(yīng)滿足疊加原理系統(tǒng)在初始位移單獨作用下的自由振動，此時，系統(tǒng)在初始速度單獨作用下的自由振動，此時，系統(tǒng)總響應(yīng)振動系統(tǒng)總的響應(yīng)

3、=上述兩部分響應(yīng)之和疊加性是線性系統(tǒng)的重要特征數(shù)字特征——振幅，振動物體離開靜平衡位置的最大位移——圓頻率——振動周期，旋轉(zhuǎn)矢量轉(zhuǎn)動一周（），振動物體的位移值也就重復(fù)一次，振動周期：振動重復(fù)一次所需要的時間間隔——振動頻率，單位時間內(nèi)完成的振動的次數(shù)固有特性可見，上述三個量都由振動系統(tǒng)的參數(shù)確定，而與初始條件無關(guān)，是系統(tǒng)的固有特性，因而又稱作：固有圓頻率、固有周期和固有頻率系統(tǒng)的初始條件只決定振動的振幅和初相位系統(tǒng)參數(shù)對振動特性的影響振系的質(zhì)量越大，彈簧越軟，則固有頻率越低，周期越長；質(zhì)量越小，彈簧越硬，則固有頻率越高，

4、周期越短，這個結(jié)論對復(fù)雜的振動系統(tǒng)也同樣的適用分析彈簧懸掛物體的垂直振動以振子的平衡位置為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的坐標(biāo)系，彈簧的自有長度為，當(dāng)物體從平衡位置離開時，彈簧的伸長為，則物體的隔離體受力如圖所示：簡圖微分方程和求解可以寫出系統(tǒng)的微分方程由于所以，上式得化簡結(jié)果仍然是：結(jié)果因此，系統(tǒng)的固有頻率仍然是：由代入上式：得到：結(jié)論由彈簧的靜變形可以計算出系統(tǒng)的固有頻率在寫微分方程的時候，可以以物體的靜平衡位置為坐標(biāo)原點，而不必考慮物體重力造成的彈簧靜變形能量法原理在阻尼可以略去不計的條件下，振動系統(tǒng)自由振動時的機械能（動

5、能+勢能）保持常值。對上式兩端求導(dǎo)，可得振無阻尼自由動系統(tǒng)為一保守系統(tǒng)，總機械能在運動中保持不變。兩邊乘以令證明1證明2定義動能系數(shù)則有振動得以維持的原因是系統(tǒng)有儲存動能的慣性元件和儲存勢能的彈性元件。由于不考慮能量耗散，無阻尼自由振動時機械能守恒，機械能的大小取決于初始條件和系統(tǒng)參數(shù)。振動時動能、勢能不斷相互轉(zhuǎn)換，因此勢能有一個最小值。使勢能取最小值的位置正是系統(tǒng)的靜平衡位置。系統(tǒng)有穩(wěn)定的平衡位置，其動能和勢能可以相互轉(zhuǎn)化，在外界激勵的作用下，才能產(chǎn)生振動。因而，振動總是在平衡位置附近進行。利用能量守恒原理是求解微分方

6、程的重要手段稱為Rayleigh商例題：如圖所示系統(tǒng)，繩索一端接一質(zhì)量，另一端繞過一轉(zhuǎn)動慣量為I的滑輪與彈簧相接，彈簧的另一端固定。設(shè)繩索無伸長，繩索與滑輪之間無滑動。此時系統(tǒng)可視為單自由度系統(tǒng)，求系統(tǒng)的固有頻率。系統(tǒng)的勢能為ox解：原點取在靜平衡位置，彈簧的相對伸長為x，滑輪沿順時針方向轉(zhuǎn)過一個角度x/r系統(tǒng)的動能包括滑輪的轉(zhuǎn)動動能和質(zhì)量的平動動能由與書上的結(jié)果比較：注意勢能的計算，可以不計重力勢能，只相差一個常數(shù)，不影響計算結(jié)果自由振動系統(tǒng)性質(zhì)對一個振動系統(tǒng)，如在動能最大時，取勢能為零，則在動能為零時，勢能取最大值。

7、常見物體的動能計算質(zhì)點或平動剛體定軸轉(zhuǎn)動的剛體平面運動的剛體常見物體的勢能計算拉伸彈簧扭轉(zhuǎn)彈簧剛體的重力勢能K為抗扭彈簧系數(shù)勢能參考點的選取勢能是一個參考值，和其具體值的大小和參考點選取有關(guān)在使用時，要注意，勢能基準(zhǔn)值的選取，應(yīng)使振動系統(tǒng)在動能最大時，勢能為零。例一如圖的系統(tǒng)，使其偏轉(zhuǎn)角后放手，求系統(tǒng)的微分方程和固有頻率例一解選取圓盤的扭轉(zhuǎn)角為廣義坐標(biāo)，箭頭方向為正向，平衡位置為轉(zhuǎn)角零點，建立如圖所示的廣義坐標(biāo)系統(tǒng)的動能系統(tǒng)的勢能由系統(tǒng)機械能守恒得：由于是方程的平凡解，兩邊除，并令：方程化簡為：例二系統(tǒng)如圖，桿和彈簧的質(zhì)

8、量不計，在靜平衡時水平，求其系統(tǒng)的微分方程和固有頻率（提示：取靜平衡位置為坐標(biāo)原點，可不考慮重力勢能，當(dāng)偏角很小時，彈簧的伸長，圓球的位移和速度可以表示為：）能量法的優(yōu)點從上面的分析可以看出，用機械能守恒求解比較方便，而且比較規(guī)范，對照大家以前的學(xué)過的Lagrange方程，大家可以看出，實際就是無約束系統(tǒng)Lagran