機(jī)械振動(dòng)PPT電子課件教案-第二章 單自由度振動(dòng)系統(tǒng)

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1、單自由度振動(dòng)系統(tǒng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)阻尼振動(dòng)單自由度系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度定義只有一個(gè)自由度的振動(dòng)系統(tǒng)，稱為單自由度振動(dòng)系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱單自由度系統(tǒng).自由度：指完整描述一個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)時(shí)間特性所需的最少的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)，在理論力學(xué)中用廣義坐標(biāo)數(shù)。幾種單自由度系統(tǒng)的示例無(wú)阻尼自由振動(dòng)自由振動(dòng)：系統(tǒng)在初始激勵(lì)下，或外加激勵(lì)消失后的一種振動(dòng)形態(tài)。系統(tǒng)的無(wú)阻尼振動(dòng)是對(duì)實(shí)際問(wèn)題的理論抽象，是一種理想條件，實(shí)際的系統(tǒng)都有阻尼。如果現(xiàn)實(shí)世界沒(méi)有阻止運(yùn)動(dòng)能力的話，整個(gè)世界將處于無(wú)休止的振動(dòng)中。以系統(tǒng)的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，以水平向右為軸正向

2、，建立如圖所示的坐標(biāo)系設(shè)在某一瞬時(shí)t,質(zhì)量沿坐標(biāo)方向有一位移x，畫出質(zhì)量此時(shí)的隔離體受力圖。自由振動(dòng)是系統(tǒng)在初始激勵(lì)下或外加激勵(lì)消失后的一種振動(dòng)形態(tài)。自由振動(dòng)時(shí)系統(tǒng)不受外界激勵(lì)的影響，其振動(dòng)規(guī)律完全取決于系統(tǒng)本身的性質(zhì)。通解為：自由振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程：三角公式推導(dǎo)根據(jù)三角函數(shù)公式令：幅值和相角的確定由前面推導(dǎo)結(jié)論1單自由度無(wú)阻尼自由振動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)——位移可以表示為時(shí)間的簡(jiǎn)諧函數(shù)（正弦或余弦）結(jié)論2響應(yīng)滿足疊加原理系統(tǒng)在初始位移單獨(dú)作用下的自由振動(dòng)，此時(shí)，系統(tǒng)在初始速度單獨(dú)作用下的自由振動(dòng)，此時(shí)，系統(tǒng)總響應(yīng)振動(dòng)系統(tǒng)總的響應(yīng)

3、=上述兩部分響應(yīng)之和疊加性是線性系統(tǒng)的重要特征數(shù)字特征——振幅，振動(dòng)物體離開靜平衡位置的最大位移——圓頻率——振動(dòng)周期，旋轉(zhuǎn)矢量轉(zhuǎn)動(dòng)一周（），振動(dòng)物體的位移值也就重復(fù)一次，振動(dòng)周期：振動(dòng)重復(fù)一次所需要的時(shí)間間隔——振動(dòng)頻率，單位時(shí)間內(nèi)完成的振動(dòng)的次數(shù)固有特性可見，上述三個(gè)量都由振動(dòng)系統(tǒng)的參數(shù)確定，而與初始條件無(wú)關(guān)，是系統(tǒng)的固有特性，因而又稱作：固有圓頻率、固有周期和固有頻率系統(tǒng)的初始條件只決定振動(dòng)的振幅和初相位系統(tǒng)參數(shù)對(duì)振動(dòng)特性的影響振系的質(zhì)量越大，彈簧越軟，則固有頻率越低，周期越長(zhǎng)；質(zhì)量越小，彈簧越硬，則固有頻率越高，

4、周期越短，這個(gè)結(jié)論對(duì)復(fù)雜的振動(dòng)系統(tǒng)也同樣的適用分析彈簧懸掛物體的垂直振動(dòng)以振子的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，彈簧的自有長(zhǎng)度為，當(dāng)物體從平衡位置離開時(shí)，彈簧的伸長(zhǎng)為，則物體的隔離體受力如圖所示：簡(jiǎn)圖微分方程和求解可以寫出系統(tǒng)的微分方程由于所以，上式得化簡(jiǎn)結(jié)果仍然是：結(jié)果因此，系統(tǒng)的固有頻率仍然是：由代入上式：得到：結(jié)論由彈簧的靜變形可以計(jì)算出系統(tǒng)的固有頻率在寫微分方程的時(shí)候，可以以物體的靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，而不必考慮物體重力造成的彈簧靜變形能量法原理在阻尼可以略去不計(jì)的條件下，振動(dòng)系統(tǒng)自由振動(dòng)時(shí)的機(jī)械能（動(dòng)

5、能+勢(shì)能）保持常值。對(duì)上式兩端求導(dǎo)，可得振無(wú)阻尼自由動(dòng)系統(tǒng)為一保守系統(tǒng)，總機(jī)械能在運(yùn)動(dòng)中保持不變。兩邊乘以令證明1證明2定義動(dòng)能系數(shù)則有振動(dòng)得以維持的原因是系統(tǒng)有儲(chǔ)存動(dòng)能的慣性元件和儲(chǔ)存勢(shì)能的彈性元件。由于不考慮能量耗散，無(wú)阻尼自由振動(dòng)時(shí)機(jī)械能守恒，機(jī)械能的大小取決于初始條件和系統(tǒng)參數(shù)。振動(dòng)時(shí)動(dòng)能、勢(shì)能不斷相互轉(zhuǎn)換，因此勢(shì)能有一個(gè)最小值。使勢(shì)能取最小值的位置正是系統(tǒng)的靜平衡位置。系統(tǒng)有穩(wěn)定的平衡位置，其動(dòng)能和勢(shì)能可以相互轉(zhuǎn)化，在外界激勵(lì)的作用下，才能產(chǎn)生振動(dòng)。因而，振動(dòng)總是在平衡位置附近進(jìn)行。利用能量守恒原理是求解微分方

6、程的重要手段稱為Rayleigh商例題：如圖所示系統(tǒng)，繩索一端接一質(zhì)量，另一端繞過(guò)一轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I的滑輪與彈簧相接，彈簧的另一端固定。設(shè)繩索無(wú)伸長(zhǎng)，繩索與滑輪之間無(wú)滑動(dòng)。此時(shí)系統(tǒng)可視為單自由度系統(tǒng)，求系統(tǒng)的固有頻率。系統(tǒng)的勢(shì)能為ox解：原點(diǎn)取在靜平衡位置，彈簧的相對(duì)伸長(zhǎng)為x，滑輪沿順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)過(guò)一個(gè)角度x/r系統(tǒng)的動(dòng)能包括滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能和質(zhì)量的平動(dòng)動(dòng)能由與書上的結(jié)果比較：注意勢(shì)能的計(jì)算，可以不計(jì)重力勢(shì)能，只相差一個(gè)常數(shù)，不影響計(jì)算結(jié)果自由振動(dòng)系統(tǒng)性質(zhì)對(duì)一個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)，如在動(dòng)能最大時(shí)，取勢(shì)能為零，則在動(dòng)能為零時(shí)，勢(shì)能取最大值。

7、常見物體的動(dòng)能計(jì)算質(zhì)點(diǎn)或平動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體平面運(yùn)動(dòng)的剛體常見物體的勢(shì)能計(jì)算拉伸彈簧扭轉(zhuǎn)彈簧剛體的重力勢(shì)能K為抗扭彈簧系數(shù)勢(shì)能參考點(diǎn)的選取勢(shì)能是一個(gè)參考值，和其具體值的大小和參考點(diǎn)選取有關(guān)在使用時(shí)，要注意，勢(shì)能基準(zhǔn)值的選取，應(yīng)使振動(dòng)系統(tǒng)在動(dòng)能最大時(shí)，勢(shì)能為零。例一如圖的系統(tǒng)，使其偏轉(zhuǎn)角后放手，求系統(tǒng)的微分方程和固有頻率例一解選取圓盤的扭轉(zhuǎn)角為廣義坐標(biāo)，箭頭方向?yàn)檎颍胶馕恢脼檗D(zhuǎn)角零點(diǎn)，建立如圖所示的廣義坐標(biāo)系統(tǒng)的動(dòng)能系統(tǒng)的勢(shì)能由系統(tǒng)機(jī)械能守恒得：由于是方程的平凡解，兩邊除，并令：方程化簡(jiǎn)為：例二系統(tǒng)如圖，桿和彈簧的質(zhì)

8、量不計(jì)，在靜平衡時(shí)水平，求其系統(tǒng)的微分方程和固有頻率（提示：取靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，可不考慮重力勢(shì)能，當(dāng)偏角很小時(shí)，彈簧的伸長(zhǎng)，圓球的位移和速度可以表示為：）能量法的優(yōu)點(diǎn)從上面的分析可以看出，用機(jī)械能守恒求解比較方便，而且比較規(guī)范，對(duì)照大家以前的學(xué)過(guò)的Lagrange方程，大家可以看出，實(shí)際就是無(wú)約束系統(tǒng)Lagran