14.1.3反證法

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1、路邊苦李王戎7歲時,與小伙伴們外出游玩,看到路邊的李樹上結(jié)滿了果子.小伙伴們紛紛去摘取果子,只有王戎站在原地不動.王戎回答說:“樹在道邊而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一個嘗了一下果然是苦李.王戎是怎樣知道李子是苦的呢?他運(yùn)用了怎樣的推理方法?小故事:這與事實(shí)矛盾。說明李子是甜的這個假設(shè)是錯的還是對的？假設(shè)李子不是苦的，即李子是甜的，那么這長在人來人往的大路邊的李子會不會被過路人摘去解渴呢？那么，樹上的李子還會這么多嗎？所以，李子是苦的甲：在五一長假里，我和爸爸、媽媽去新加坡玩了整整6天，真是太高興了.乙：這不可能，5月4號上

2、午還看見你和丙在“長廊”逛街呢！丙：是啊,5月4號我確實(shí)和甲在“長廊”逛街！假設(shè)甲去新加坡玩了6天，乙：甲沒有去新加坡玩了6天.那么甲從5月1號至6號或是2號至7號在新加坡，即5月4號甲在新加坡，這與“5月4號甲在達(dá)州市的“長廊””矛盾,所以假設(shè)“甲去新加坡玩了6天”不正確,于是“甲沒有去新加坡玩了6天”正確.在古希臘時,有三個哲學(xué)家，由于爭論和天氣的炎熱感到疲倦，于是就在花園里的一棵大樹下躺下休息睡著了。這時一個愛開玩笑的人用炭涂黑了他們的前額,當(dāng)他們醒過來后，彼此相看時都笑了。一會兒其中有一個人卻突然不笑了，他是覺察到什

3、么了？他運(yùn)用了怎樣的推理方法？各抒己見假設(shè)自己的前額沒有被涂黑,那么另一個哲學(xué)家也不會有異常行為,自己的前額也被涂黑了.這與另一個哲學(xué)家笑個不停矛盾,所以假設(shè)“自己的前額沒有涂黑”不正確,于是自己的前額也被涂黑了.14﹒1﹒3反證法一、問題情境小華睡覺前，地上是干的，早晨起來，看見地上全濕了。小華對婷婷說：“昨天晚上下雨了?！蹦隳軐π∪A的判斷說出理由嗎？假設(shè)昨天晚上沒有下雨，那么地上應(yīng)是干的，這與早晨地上全濕了相矛盾，所以說昨晚下雨是正確的。小華的理由：我們可以把這種說理方法應(yīng)用到數(shù)學(xué)問題上。解析：由∠C=90°可知是直角三

4、角形，根據(jù)勾股定理可知a2+b2＝c2.如圖，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,如果∠C=90°，a、b、c三邊有何關(guān)系？為什么？ACCabc一、復(fù)習(xí)引入探究：假設(shè)a2+b2＝c2，由勾股定理可知三角形ABC是直角三角形，且∠C=90°，這與已知條件∠C≠90°矛盾。假設(shè)不成立，從而說明原結(jié)論a2+b2≠c2成立。ACC若將上面的條件改為“在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,∠C≠90°”，請問結(jié)論a2+b2≠c2成立嗎？請說明理由。abc這種證明方法與前面的證明方法不同，它是首先假設(shè)結(jié)論的反面成立，然后經(jīng)

5、過正確的；邏輯推理得出與已知、定理、公理矛盾的結(jié)論，從而得到原結(jié)論的正確。象這樣的證明方法叫做反證法。問題：發(fā)現(xiàn)知識：二、探究三、應(yīng)用新知在△ABC中，AB≠AC,求證：∠B≠∠CABC證明：假設(shè)，則（）這與矛盾．假設(shè)不成立．∴．∠B＝∠CAB＝AC等角對等邊已知AB≠AC∠B≠∠C小結(jié)：反證法的步驟：假設(shè)結(jié)論的反面不成立→邏輯推理得出矛盾→肯定原結(jié)論正確例１嘗試解決問題感受反證法:證明：假設(shè)a與b不止一個交點(diǎn)，不妨假設(shè)有兩個交點(diǎn)A和A’。因?yàn)閮牲c(diǎn)確定一條直線，即經(jīng)過點(diǎn)A和A’的直線有且只有一條，這與與已知兩條直線矛盾,假設(shè)

6、不成立。所以兩條直線相交只有一個交點(diǎn)。小結(jié)：根據(jù)假設(shè)推出結(jié)論除了可以與已知條件矛盾以外，還可以與我們學(xué)過的定理、公理矛盾例2求證：兩條直線相交只有一個交點(diǎn)。已知：如圖兩條相交直線a、b。求證：a與b只有一個交點(diǎn)。abA●A，●A證明：假設(shè)a與b不平行，則可設(shè)它們相交于點(diǎn)A。那么過點(diǎn)A就有兩條直線a、b與直線c平行，這與“過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行矛盾,假設(shè)不成立?！郺//b.小結(jié)：根據(jù)假設(shè)推出結(jié)論除了可以與已知條件矛盾以外，還可以與我們學(xué)過的定理、公理矛盾已知：如圖有a、b、c三條直線，且a//c,b//c.

7、求證：a//babc例3求證：在一個三角形中，至少有一個內(nèi)角小于或等于60°。已知：△ABC求證：△ABC中至少有一個內(nèi)角小于或等于60°.證明：假設(shè)，則?！啵?。這與矛盾．假設(shè)不成立．∴．△ABC中沒有一個內(nèi)角小于或等于60°∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°∠A+∠B+∠C>180°三角形的內(nèi)角和為180度△ABC中至少有一個內(nèi)角小于或等于60°.點(diǎn)撥：至少的反面是沒有！例4∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°例5:求證:在同一平面內(nèi),如果一條直線和兩條平行線中的一條相交,那么和另一條也相交.已知:直

8、線l1,l2,l3在同一平面內(nèi),且l1∥l2,l3與l1相交于點(diǎn)P.求證:l3與l2相交.證明:假設(shè)____________,那么_________.因?yàn)橐阎猒________,這與“____________________________________”矛盾.所以假設(shè)不成立,即求證的命