微積分的創(chuàng)立

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1、微積分的創(chuàng)立原婉琪[摘要]介紹了古希臘時(shí)代安提豐、中國(guó)的劉徽等著作中微積分思想的萌芽，到17世紀(jì)初費(fèi)爾馬、巴羅、沃利斯等對(duì)微積分的貢獻(xiàn),重點(diǎn)介紹了微積分的創(chuàng)始人牛頓及萊布尼茲在微積分方面的學(xué)術(shù)成果及學(xué)術(shù)思想。[關(guān)鍵詞]窮竭法；不可分量；微分三角形；首末比分法；微積分基本定理。1、微積分的先驅(qū)1.1窮竭法公元前400多年，古希臘數(shù)學(xué)家安提豐（公元前480——411）在研究化圓為方的問(wèn)題時(shí)首創(chuàng)了“窮竭法”。他認(rèn)為內(nèi)接于圓的一個(gè)正三角形，如果依次把圖形的邊數(shù)增倍（成為內(nèi)接六邊形，十二邊形等），內(nèi)接多邊形的頂點(diǎn)歸根到底占用圓周上所有點(diǎn)，最后得到多邊形與圓相符合。即多邊形的面積

2、越來(lái)越接近圓的面積，使圓與內(nèi)接多邊形的面積之差最終將被窮竭。我國(guó)早在公元263年劉徽（約225—295）給《九章算術(shù)》作的注釋中，創(chuàng)造了“割圓術(shù)”來(lái)計(jì)算圓周率的方法。他從圓的內(nèi)接正六邊形算起，依次將邊數(shù)加倍，一直算到內(nèi)接192邊形的面積，從而得到圓周率π的近似值為157/50=3.14的“微率”,以后他又算到圓內(nèi)接正3070邊形的面積,從而得到π=3927/1250=3.1416。劉徽認(rèn)為如此增加圓內(nèi)接多邊形的邊數(shù)，“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以致于不可割，則與圓周合體，而無(wú)所失矣。”這里他已把極限的思想應(yīng)用于近似值的計(jì)算，他的方法除缺少極限表達(dá)式外，與現(xiàn)代方法相

3、差無(wú)幾。1.2不可分量原理意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列（1598—1647）對(duì)微積分的最大貢獻(xiàn)是建立“不可分原理”,他于1653年發(fā)表了名著《用新方法促成的連續(xù)不可分幾何學(xué)》，認(rèn)為：“幾何圖形是由無(wú)數(shù)多個(gè)維數(shù)較低的不可分量組成，即面積是由無(wú)數(shù)個(gè)等距平行線段構(gòu)成，體積是無(wú)數(shù)個(gè)平行的平面構(gòu)成的，他分別把這些元素叫做面積和體積的‘不可分量’，并承認(rèn)組成面積和體積的不可分量的數(shù)目一定是無(wú)窮多的?！斑@種用不可分法求和的原理就是爾后的定積分概念的雛形，他的方法明顯地隱含著計(jì)算面積和體積的求極限過(guò)程，算出了表如=an+1/n+1的基本結(jié)果,使早期的積分學(xué)突破了體積計(jì)算的現(xiàn)實(shí)原形,而向一般的算

4、法過(guò)渡.他的不可分量在后來(lái)牛頓的瞬時(shí)概念和萊布尼茲的微積分概念中都有所反映,因此卡瓦列利的原理是通向無(wú)窮小的微積分學(xué)的階梯。1.3微分學(xué)的起源與積分學(xué)相比，微分學(xué)的起源則要晚得多，刺激微分學(xué)發(fā)展的主要科學(xué)問(wèn)題是求曲線的切線、求瞬時(shí)變化率，以及求函數(shù)的極大值、極小值問(wèn)題。法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬（1610—1665）在1629年獲得求函數(shù)極值的法則，他的法則可用現(xiàn)在的記號(hào)表示如下：欲求f(x)（費(fèi)爾馬先取個(gè)別整有理數(shù)）的極值，先把表達(dá)式[f(x＋h)-f(x)]/h按h的乘冪展開，并棄去含h的各項(xiàng)，再令所得的結(jié)果為零，這時(shí)方程的根就能使f(x)在這一點(diǎn)上有極值，他還用類似的方法

5、求出平面曲線y=f(x)的切線，寫出所謂次切線的表達(dá)式f(x)·h/[f(x+h)-f(x)]約掉h后再棄去含h的各項(xiàng)，費(fèi)爾馬在這兩個(gè)問(wèn)題中的計(jì)算都用到了相當(dāng)于求極限limf[x+h]-f(x)]/h的式子。他的求極值的方法給出了可微函數(shù)有極值的必要條件f1(X)=0。他不用類似的方法求出了拋物線的重心，在微積分史上是非常獨(dú)特的。他還區(qū)分極大值和極小值的準(zhǔn)則，并有求拐點(diǎn)的方法。費(fèi)爾馬的這些成果對(duì)后來(lái)微積分的建立產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。英國(guó)數(shù)學(xué)家馬羅（1630—1677）與費(fèi)爾馬不同，他使用了幾何方法，引入了“微分三角形”[1]的概念，即相當(dāng)于現(xiàn)在的dx,dy,ds為邊的三角

6、形（如圖1），PyaQe0TMx設(shè)有曲線f(X,Y)=0，欲求其上一點(diǎn)P處的切線，巴羅考慮一段“任意小的弧”PQ，它是由增量QR=e引起的，PQR就是所謂的微分三角形，巴羅認(rèn)為當(dāng)這個(gè)三角形越來(lái)越小時(shí),它與⊿TPM應(yīng)趨近于相似，故應(yīng)有PM/TM=PR/QR即y/x=a/eQ，P在曲線上，故應(yīng)有f（x-e，y-a）-f（x，y）=0。在上式中消去一切包含e，a的冪或二者乘積的項(xiàng)，從所得方程中解出e/a，即切線斜率y/x，于是可得到x值而做出切線，巴羅的方法實(shí)質(zhì)上是把切線看作是當(dāng)a和e趨于零時(shí)割線PQ的極限位置，并列用忽略高階無(wú)限小來(lái)取極限。在這里a和e分別相當(dāng)于現(xiàn)代的dy

7、和dx，而a/e則相當(dāng)于dy/dx。英國(guó)數(shù)學(xué)家沃里斯（1616——1703）是將分析方法引入微積分貢獻(xiàn)最突出的數(shù)學(xué)家，沃里斯最重要的著名作是《無(wú)窮算術(shù)》（1655年），他用算術(shù)不可分量方法獲得了許多重要結(jié)果，其中之一就是卡瓦列利的冪函數(shù)的積分公式∫a0xndx=an+1/n+1的推廣到分?jǐn)?shù)冪情形。他從已知的極限lim(0k+1k+…+nk)/(nk+nk+…nk)=k+1,得=1/[p/(q+1)]=q/(p+q)并進(jìn)而猜測(cè)∫a0xndx=ap/(q+1)/[(p/q)+1]=[q/(p+q)]a(p+q)/q沃利斯另一項(xiàng)重要研究是計(jì)算1/4單位圓的