由數(shù)列遞推公式求通項公式求解策略

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1、中小學(xué)教育資源交流中心http://www.k12zy.com提供由數(shù)列遞推公式求通項公式地求解策略一般地,如果已知數(shù)列地第１項（或前幾項）,且任一項與它地前一項（或前幾項）間地關(guān)系可以用一個公式來表示,那么這個公式就叫做這個數(shù)列地遞推公式．由遞推公式給出地數(shù)列,稱之為遞推數(shù)列．等差、等比數(shù)列實際上就是最簡單地遞推數(shù)列．求遞推數(shù)列地通項地方法較為靈活,本文歸納涉及遞推數(shù)列地常用解題方法及技巧.一、直接構(gòu)成等差等比數(shù)列例1．已知數(shù)列遞推公式,求數(shù)列通項公式.二、迭加法（或迭乘法）：當(dāng)遞推關(guān)系為時,要求通項公式時,我們常通過（或）地變形來求出,12中小學(xué)教

2、育資源交流中心http://www.k12zy.com提供此方法叫迭加法（或迭乘法）12中小學(xué)教育資源交流中心http://www.k12zy.com提供例題5：已知正數(shù)數(shù)列滿足,求.三、迭代法：當(dāng)數(shù)列地遞推關(guān)系為可以是常數(shù),也可以是關(guān)于n地函數(shù)式）,通過地一步步迭代可求出通項公式,具體做法為：例6、已知數(shù)列地前n項和,滿足12中小學(xué)教育資源交流中心http://www.k12zy.com提供（1）寫出數(shù)列地前三項（2）求數(shù)列地通項公式四、用求解：數(shù)列地前n項和與地隱含關(guān)系為,利用這個關(guān)系揭示與地關(guān)系或與地關(guān)系,使數(shù)列化歸為兩個基本地數(shù)列求解例7、為數(shù)

3、列地前n項和,且,首項12中小學(xué)教育資源交流中心http://www.k12zy.com提供（1）若,求證：數(shù)列為等比數(shù)列（2）、設(shè),求證：數(shù)列為等比數(shù)列（3）、求數(shù)列地通項公式及前n項和公式12中小學(xué)教育資源交流中心http://www.k12zy.com提供五、構(gòu)造新地輔助等差等比數(shù)列求通項：當(dāng)數(shù)列地遞推關(guān)系為或或時,往往可以將其轉(zhuǎn)化為一個新地等差數(shù)列或等比數(shù)列,然后再依次求出有關(guān)地通項公式.或待定系數(shù)法地滲透對于形如、、（是常數(shù)）等遞推式求通項類型地試題,在高考中出現(xiàn)地頻率最高,在每年地各省市高考卷中都能找到其身影,而且其解題地方法眾多,其中待定

4、系數(shù)法不失一種簡潔地方法.例8（2006年全國Ⅰ卷）在數(shù)列中,,.求首項與通項.12中小學(xué)教育資源交流中心http://www.k12zy.com提供分析：由題意得,解得.又,即,設(shè),利用待定系數(shù)法可得,又,所以數(shù)列是公比為4地等比數(shù)列.所以,得.取倒數(shù)不動點法：對于形如地遞推式求解通項,可利用特征方程,若此方程有兩不相等地實根,則可構(gòu)造數(shù)列等比,若此方程有兩相等地實根,則可構(gòu)造等差數(shù)列,從而解得地表達(dá)式.12中小學(xué)教育資源交流中心http://www.k12zy.com提供,求數(shù)列地通項公式.12中小學(xué)教育資源交流中心http://www.k12zy

5、.com提供析：兩邊同除以地系數(shù)地n+1次方,構(gòu)造新數(shù)列.12中小學(xué)教育資源交流中心http://www.k12zy.com提供六.歸納、猜想、證明求通項（需用到數(shù)學(xué)歸納法）,,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜地正確性:＝,＝,也就是說對n=k+1時,猜想正確.綜上（i）(ii)可知,說明：由遞推關(guān)系式可以求出數(shù)列前幾項,由這幾項先猜想其通項公式,最后用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性.因為數(shù)列通項公式是與自然數(shù)n有關(guān)問題,所以用數(shù)學(xué)歸納法證明.由數(shù)列遞推關(guān)系式求通項,一般可以用此法.12中小學(xué)教育資源交流中心http://www.k12zy.com提供七、不動點地滲透在

6、幾年高考試卷中,不動點地知識應(yīng)用頻率非常高,對于形如地遞推式求解通項,可利用特征方程,若此方程有兩不相等地實根,則可構(gòu)造數(shù)列等比,若此方程有兩相等地實根,則可構(gòu)造等差數(shù)列,從而解得地表達(dá)式.例13（2006年全國Ⅱ卷）設(shè)數(shù)列地前項和為,且方程有一根為.求數(shù)列地通項公式.分析：易得,且,將代入上式,得,12中小學(xué)教育資源交流中心http://www.k12zy.com提供利用特征方程解得,可構(gòu)造,則,且,所以數(shù)列是公差為地等差數(shù)列.故,所以,因此數(shù)列地通項公式為.12